Silabus

Deskripsi Mata Kuliah

Standar Kompetensi

Sumber Bahan

Rencana Pembelajaran

Komponen Penilaian

Teori Persamaan Linier

Bilangan Negatif dan Tanda Kurung

Apakah kalian sudah mengenal bilangan negatif ? Tentu kita telah sering mendengar istilah besar pasak daripada tiang. Istilah ini menandakan lebih besarnya pengeluaran daripada pendapatan. Sehingga kita harus utang terlebih dahulu untuk menjalankan pengeluaran. Istilah negatif dekat sekali dengan istilah utang.

Bilangan negatif secara matematika merupakan lawan dari bilangan positif. Mereka berdua saling berlawanan ketika dihadapkan dengan operator penjumlahan $(+)$. Sehingga ketika dua angka yang sama satu diberikan tanda positif sedangkan satunya diberikan tanda negatif maka dijumlahkan akan menghasilkan angka 0. Serupa tapi mungkin tak sama dengan yin dan yang atau baik dan buruk.

$$(-x)+(+x)=0=(+x)+(-x)$$

Mungkin ada yang tahu mengapa tanda positif atau negatif itu sering diletakkan di kiri bilangannya?

Sekarang kita akan melihat sifat dan karakteristik mereka berdua jika berada pada operator perkalian $(\times)$.

1. $\text{Positif}\times \text{Positif} = \text{Positif}$
   Contoh: $6\times 8=48$.
2. $\text{Positif}\times\text{Negatif} = \text{Negatif} \times\text{Positif} = \text{Negatif}$
   Contoh: $8\times(-6)=(-6)\times 8=(-48)$.
3. $\text{Negatif} \times \text{Negatif} = \text{Positif}$
   Contoh: $(-6)\times (-8)=48$

Tanda kurung digunakan dalam matematika untuk mengutamakan atau mendahulukan operasi tertentu dibandingkan dengan operasi lainnya. Masih pada ingat bukan kalau perkalian dan pembagian itu lebih kuat daripada penjumlahan dan pengurangan? Artinya jika ada operasi perkalian dan operasi pengurangan maka harus kita lakukan terlebih dahulu operasi perkalian baru selanjutnya adalah operasi pengurangan.$$5-3\times 2=-1 \text{ (benar) dan }5-3\times 2=4 \text{ (salah) }$$

Hal ini akan sedikit berbeda jika kita memainkan tanda kurung pada persamaan di atas. Misal pada persamaan yang kanan kita beri tanda kurung seperti di bawah ini. $$(5-3)\times 2=4 \text{ (benar) }$$ Maka pernyataan di atas akan menjadi bernilai benar. Dapat kita lihat bahwa tanda kurung di sini memerankan 'pemaksaan' operasi pengurangan dilakukan terlebih dahulu.

Ada beberapa sifat yang kemudian muncul terkait dengan tanda kurung.

1. Sifat Distributif
   $a\times(b+c)=(b+c)\times a=a\times b+a\times c$
   Kemudian untuk memudahkan penulisan dan notasi maka biasanya tanda kali $(\times)$ dapat dihilangkan. Sebagai contoh, $a\times b=ab.$
2. Sifat Asosiatif
   Penjumlahan: $a+(b+c)=(a+b)+c=a+b+c$
   Perkalian: $a\times(b\times c)=(a\times b)\times c=a\times b\times c$ atau $a(bc)=(ab)c$.

Pecahan, Persamaan, dan Pertidaksamaan

Bilangan pecahan sebenarnya adalah sebuah daerah yang lebih luas daripada bilangan bulat. Mari kita perhatikan awal mula bagaimana kemunculan bilangan pecahan. Kita dapat dengan mudah menentukan hasil dari 15 dibagi 3, yaitu 5. Tapi bagaimana hasil dari 15 dibagi dengan 4? Tentu hasilnya jelas bukan merupakan bilangan bulat. Bilangan inilah yang biasa kita sebut dengan pecahan $\frac{15}{4}$. Bilangan $15$ kita sebut sebagai pembilang dan $4$ disebut sebagai penyebut.

Secara umum sifat-sifat yang ada pada pecahan ini hampir sama dengan sifat-sifat yang ada pada bilangan bulat. Bahkan sama persis untuk sifat yang ada pada operasi perkalian dan pembagian. Muncul perbedaan ketika kita melihat penjumlahan yang ada pada pecahan seperti kita lihat di bawah ini. $$\frac{1}{2}+\frac{2}{3}\neq \frac{1+2}{2+3} \text{ melainkan }\frac{1}{2}+\frac{2}{3} = \frac{1\times 3+2\times 2}{2\times 3}$$ Mengapa $1\times 3$ di atas tidak ditulis dengan $13$?

Pecahan yang mempunyai pembilang besar dibandingkan dengan penyebutnya dapat kita buat menjadi bentuk pecahan campuran. Pada pecahan campuran, selain kita memiliki pembilang dan penyebut, kita juga mempunyai bilangan bulat di depan keduanya. Contoh $\frac{15}{4}=3\frac{3}{4}$. Penulisan $3$ di depan $\frac{3}{4}$ ini berarti $3\frac{3}{4}=3+\frac{3}{4}$ yang mana ini nilainya sama saja dengan $\frac{15}{4}$. Hal ini juga dapat kita lakukan pada pecahan yang bernilai negatif. Contohnya $$-\frac{15}{4}=\frac{-16+1}{4}=\frac{-16}{4}+\frac{1}{4}=-4\frac{1}{4}.$$ Apakah sudah tahu dari mana dapat $-16$ di atas?

Sekarang kita akan mempelajari apa itu persamaan dan pertidaksamaan. Sederhana sekali pengertian keduanya yaitu jika persamaan melibatkan tanda sama dengan $(=)$ dan sebaliknya, pertidaksamaan menggunakan tanda yang lain $(\neq,>,\geq,<,\leq)$.

Selain persamaan yang salah dan benar, ada juga yang sifatnya terbuka. Contohnya $5x+2=12$. Persamaan ini akan bernilai benar jika $x=2$ dan bernilai salah jika $x\ne 2$. Terbuka di sini maksudnya sebagaimana dijelaskan di atas yaitu persamaan dapat bernilai benar atau pun bernilai salah (sampai pada keterangan lebih lanjut). Dari pertanyaan terbuka inilah kita mendapatkan banyak soal matematika. Hehe.

Begitu juga pertidaksamaan, dapat bernilai terbuka. Contohnya $3x>13$. Pembedanya ada pada nilai $x$ yang membuat pernyataan menjadi benar. Jika sebagian besar persamaan akan benar untuk satu nilai $x$ tertentu, tapi pertidaksamaan akan benar untuk nilai $x$ yang lebih banyak. Lihat pada pertidaksamaan yang terakhir $3x>13$. Pertidaksamaan tersebut akan bernilai benar untuk nilai $x=5$, juga benar untuk $x=6$, dan seterusnya bahkan sampai nilai $x=100$ atau lebih.

Beberapa sifat yang perlu kita ketahui dalam pertidaksamaan.

1. $a\geq b\Longrightarrow -a\leq-b$ (Jika dikali bilangan negatif maka tandanya menjadi berbalik)
2. $a,b>0$ dan $a\geq b$ $\Longrightarrow \frac{1}{a}\leq \frac{1}{b}$ (Bagaimana kalau $a$ atau $b$ tidak positif?)
3. Pertidaksamaan boleh ditambahkan tapi tidak boleh dikurangi.

   Seperti kita lihat di bawah ini.

   $5\leq 7$ $2\leq 7$ -------- (-) $3\leq 0$ Pertidaksamaan bernilai salah

   $5\leq 7$ $2\leq 7$ -------- (+) $7\leq 14$ Pertidaksamaan bernilai benar

Grafik Persamaan Linier

Sebelum membahas grafik persamaan linier, kita patut mengetahui dulu beberapa istilah aljabar yang ada pada persamaan garis lurus. Sekarang kita perhatikan persamaan garis di bawah ini. $$y=mx+c$$ Pada persamaan garis di atas, $(x,y)$ menandakan titik yang dilewati garis. Selanjutnya $m$ biasa disebut gradien garis dan $c$ adalah titik potong terhadap sumbu-$y$. Ada juga bentuk persamaan garis $$ax+by+c=0$$ Sebenarnya bentuk ini sama saja dengan bentuk yang di atas hanya saja bentuk ini sering muncul pada sistem persamaan linier alih-alih sebagai bentuk persamaan garis. Hal ini karena tidak langsung terlihat komponen gradien dan titik potong pada persamaan garis tersebut. Tapi tentu kita dapat dengan mudah mencari gradien dan titik potongnya dengan melakukan manipulasi seperti di bawah ini. $$ax+by+c=0\Longleftrightarrow by=-ax-c\Longleftrightarrow y=-\frac{a}{b}x-\frac{c}{b}$$ Oleh karenanya gradien $m=-\frac{a}{b}$ dan titik potong terhadap sumbu-$y$ adalah $-\frac{c}{b}$.

Solusi Sistem Persamaan Linier

Sistem persamaan linier adalah beberapa persamaan linier yang semuanya bernilai benar. Artinya titik $(x,y)$ yang memenuhi satu persamaan linier harus memenuhi juga persamaan linier yang lain. Daripada semakin bingung, petunjuk tambahannya adalah metode eliminasi dan substitusi. Tentu istilah ini sudah sangat sering kita temui. Masalah yang bisa diselesaikan dengan dua metode ini biasa disebut dengan sistem persamaan. Contoh sistem persamaan linier adalah: $$\begin{align*} 2x + 3y &= 8 \\ 4x - y &= 6 \end{align*}$$ Dua persamaan linier tersebut digabung menjadi satu sistem persamaan linier.

Sekarang akan dibahas solusi dari sistem persamaan linier. Coba kita membayangkan dua buah garis pada koordinat kartesius. Akan ada tiga kemungkinan perpotongan antara dua garis tersebut.

1. Pertama: kedua garis saling berhimpit satu sama lain
   Hal ini bisa terjadi ketika gradien dan titik potong dua garis sama, atau koefisien $a,b,c$ pada $ax+by+c=0$ merupakan kelipatan dari persamaan lain. Contoh: $$\begin{align*} x-2y&=23\\ 2x-4y&=46 \end{align*}$$Koefisien persamaan kedua merupakan dua kali koefisien persamaan pertama.
2. Kedua: kedua garis berpotongan di satu titik
   Hal ini bisa terjadi ketika gradien dua buah garis berbeda. Dapat juga diidentifikasi dengan nilai $-\frac{a}{b}$ yang berbeda. Contoh: $$\begin{align*} x-2y&=23\\ 2x-5y&=46 \end{align*}$$Perhatikan bahwa persamaan pertama mempunyai gradien $m=-\frac{1}{-2}=\frac{1}{2}$, sedangkan gradien garis kedua adalah $m=-\frac{2}{-5}=\frac{2}{5}$.
3. Ketika: kedua garis tidak berpotongan sama sekali
   Hal ini bisa terjadi ketika gradien dua buah garis sama namun memiliki titik potong yang berbeda. Sebenarnya sistem persamaannya akan serupa dengan kasus yang pertama dan hanya akan berbeda di konstanta akhirnya. Contoh: $$\begin{align*} x-2y&=23\\ 2x-4y&=40 \end{align*}$$ Perhatikan seluruh koefisien persamaan kedua adalah dua kali koefisien persamaan pertama namun konstanta persamaan kedua $(40)$ tidak merupakan dua kali konstanta persamaan pertama $(23)$.

Aplikasi Persamaan Linier

Fungsi Permintaan dan Penawaran

Terlebih dulu akan kita bahas istilah fungsi sebelum kita bahas fungsi permintaan maupun fungsi penawaran. Dalam matematika kita menemui banyak sekali fungsi yang biasa dilambangkan dengan $(f)$. Ada fungsi linier, fungsi kuadrat, fungsi eksponensial, dan fungsi-fungsi lainnya. Fungsi sendiri dapat diartikan sebagai pabrik/proses. Sehingga fungsi memerlukan input dan akan mengeluarkan output. Arti lainnya adalah fungsi akan memetakan input ke sebuah nilai yaitu output dengan aturan-aturan tertentu.

Contohnya fungsi $f(x)=2x-3$. Maka fungsi ini akan mengalikan setiap input yang masuk lalu selanjutnya menguranginya dengan 3. Sebagai contoh, $f(4)=2(4)-3=8-3=5$. Atau contoh lain $f(12)=2(12)-3=24-3=21$.

Fungsi permintaan adalah fungsi yang akan memetakan harga menjadi banyaknya permintaan. Berarti dapat kita tulis $f(P)=Q$. Walaupun biasanya di matematika $f(x)=y$, tetapi di ekonomi agak sedikit berbeda. Variabel $P$ akan menempati posisi $y$, sedangkan variabel $Q$ akan menempati posisi $x$. Inilah sedikit perbeda budaya yang ada pada grafik ekonomi dan grafik matematika.

Secara logika, ketika kita meilhat harga suatu barang semakin naik, maka permintaan untuk barang tersebut pun akan menjadi semakin sedikit. Walaupun hal ini tentu dipengaruhi juga oleh beberapa hal, semacam harga barang pengganti dan subsidi yang diberikan pemerintah. Sehingga yang ada pada fungsi permintaan, secara umum, adalah grafik yang menurun (semakin ke kanan semakin turun.) Jika kita sederhanakan grafiknya menjadi persamaan linier maka gradiennya akan bernilai negatif. Contoh: $P=-2Q_d+10$.

Hal yang sedikit berlawanan muncul pada fungsi penawaran. Ketika harga semakin melambung naik, maka yang akan terjadi akan semakin banyak penawaran. Hal ini terjadi karena kecenderungan keuntungan yang akan diperoleh semakin besar oleh para pedagang. Jadi grafiknya akan naik. Sebagai contoh: $P=2Q_s+10$.

Ketika dua garis ini saling berpotongan, maka akan terjadilah titik keseimbangan (equilibrium). Artinya titik ini adalah titik pertemuan antara jumlah permintaan sama dengan jumlah penawaran.
Mengapa disebut titik keseimbangan? Apanya yang seimbang?

Transposisi Formula

Transposisi ini formula ini adalah bahasa ekonomi dari menginversikan fungsi. Hal ini membicarakan adanya perubahan input dan output pada sebuah fungsi. Sebagai contoh kita punya fungsi permintaan dimana $f(P)=Q_d$. Maka transposisi dari formula ini adalah $g(Q)=P$ yang mana sekarang kita punya fungsi $g$ dengan input adalah variabel $Q$ dan output adalah variabel $P$.

Selanjutnya akan kita bahas caranya dengan dua contoh di bawah. Contoh pertama: $$\begin{align*} y&=f(x)\\ y&=2x-5\\ y+5&=2x-5+5\\ y+5&=2x\\ \frac{y+5}{2}&=x \end{align*}$$ Contoh kedua: $$\begin{align*} y&=f(x)\\ y&=\frac{2x-1}{x+5}\\ y(x+5)&=2x-1\\ xy+5y+1&=2x-1+1\\ xy+5y+1&=2x\\ 5y+1&=2x-xy\\ 5y+1&=x(2-y)\\ \frac{5y+1}{2-y}&=x \end{align*}$$

Pendapatan Nasional

Persamaan Taklinier

Fungsi Kuadrat

Pendapatan, Biaya, dan Keuntungan

Bilangan Pangkat dan Logaritma

Matematika Keuangan

Prosentase

Bunga Majemuk

Deret Geometri

Penilaian Investasi

Teori Turunan

Turunan Fungsi

Aturan Turunan

Fungsi Marjinal

Aturan Rantai,Perkalian, dan Pembagian

Aplikasi Turunan

Elastisitas

Optimisasi Fungsi Ekonomi

Turunan Fungsi Eksponen dan Logaritma

UTS

Nomor 1

Teori Turunan Parsial

Elastisitas Parsial dan Fungsi Marjinal

Aplikasi Turunan Parsial

Optimasi Tanpa Kendala

Optimasi dengan Kendala

Pengali Lagrange

Integral dan Aplikasinya

Integral Tentu

Integral Tak Tentu

Matriks dan Aplikasinya

Operasi Dasar Matriks

Invers Matriks

Aturan Cramer

Pemrograman Linier

Daerah Himpunan Penyelesaian

Solusi Grafik

Aplikasi

Persamaan Beda

Pendapatan Nasional

Analisis Permintaan dan Penawaran

Turunan Eksponensial dan Fungsi Logaritma Natural

Persamaan Diferensial

Pendapatan Nasional

Analisis Permintaan dan Penawaran

Integral Eksponensial dan Fungsi Logaritma Natural

Soal 1

Tentukan hasil dari integral tak tentu $\int 4x^3-5x+5-\frac{1}{x}+\frac{3}{x^2}dx$

Jawab:

\begin{align*} \int 4x^3-5x+5-\frac{1}{x}+\frac{3}{x^2}dx&=\int 4x^3-5x+5-x^{-1}+3x^{-2}dx\\ &=4\left(\frac{1}{4}x^4\right)-5\left(\frac{1}{2}x^2\right)+5x-\ln(x)+3\left(\frac{1}{-1}x^{-1}\right)+c\\ &=x^4-\frac{5}{2}x^2+5x-\ln(x)-3x^{-1}+c \end{align*}

Soal 2

Tentukan nilai integral tentu $\int^3_2 3x^2-4x+8dx$

Jawab:

\begin{align*} \int^3_2 3x^2-4x+8dx&=\left(3\left(\frac{1}{3}x^3\right)-4\left(\frac{1}{2}x^2\right)+8x\right)^3_2\\ &=\left(x^3-2x^2+8x\right)^3_2\\ &=(27-18+24)-(8-8+16)\\ &=33-16=17 \end{align*}

Soal 3

Tentukan nilai keuntungan konsumen di titik $P=75$ jika fungsi permintaannya adalah $P=100-Q^2$.

Jawab:

Pertama cari dulu $Q_0$ saat $P_0=75$.

\begin{align*} 75&=100-Q_0^2\\ Q_0^2&=25\\ Q_0&=5 \end{align*}

Kedua masukkan ke dalam rumus.

\begin{align*} \int^{Q_0}_0 P(Q)dQ-P_0Q_0&=\int^5_0 100-Q^2dQ-75(5)\\ &=\left(100Q-\frac{Q^3}{3}\right)^5_0-375\\ &=\left(500-\frac{125}{3}\right)-375\\ &=83,8 \end{align*}

Soal 4

Tentukan invers dari matriks $\begin{bmatrix}5& 3\\2& 1\end{bmatrix}$

Jawab:

Invers dari matriks tersebut adalah

\begin{align*} \frac{1}{5(1)-3(2)}\begin{bmatrix}1&-3\\-2&5\end{bmatrix}&=\frac{1}{-1}\begin{bmatrix}1&-3\\-2&5\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-1&3\\2&-5\end{bmatrix} \end{align*}

Soal 5

Jika $A=\begin{bmatrix}1& -3\\2& 1\\0&-3\end{bmatrix}$ dan $B=\begin{bmatrix}3&4&1\\0&-1&2\end{bmatrix}$, tentukan $BA$.

Jawab:

\begin{align*} BA=\begin{bmatrix}3&4&1\\0&-1&2\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1& -3\\2& 1\\0&-3\end{bmatrix}&=\begin{bmatrix}3(1)+4(2)+1(0)&3(-3)+4(1)+1(-3)\\0(1)+(-1)(2)+2(0)&0(-3)+(-1)(1)+2(-3)\end{bmatrix}\\ &=\begin{bmatrix}11&-8\\-2&-7\end{bmatrix} \end{align*}

Soal 6

Fungsi permintaan dan penawaran sebuah barang diberikan di bawah ini: \begin{align*} P+4Q_D&=61\\ 3P-Q_S&=14 \end{align*} Tentukan nilai ekuilibrium menggunakan aturan Cramer.

Jawab:

Bentuk sistem persamaan di atas menjadi matriks: \begin{align*} \begin{bmatrix}1&4\\3&-1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}P\\Q\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}61\\14\end{bmatrix} \end{align*}

Nilai $P$ dengan aturan Cramer:\begin{align*} P=\frac{\det\begin{bmatrix}61&4\\14&-1\end{bmatrix}}{\det\begin{bmatrix}1&4\\3&-1\end{bmatrix}}=\frac{-61-68}{-1-12}=\frac{-129}{-13}=9.92 \end{align*}

Nilai $Q$ dengan aturan Cramer:\begin{align*} Q=\frac{\det\begin{bmatrix}1&61\\3&14\end{bmatrix}}{\det\begin{bmatrix}1&4\\3&-1\end{bmatrix}}=\frac{14-183}{-1-12}=\frac{-169}{-13}=13 \end{align*}

Soal 7

Tentukan banyaknya titik dengan koordinat bilangan bulat yang berada pada daerah himpunan penyelesaian di bawah ini: \begin{align*} 3x+8y&\leq 24\\ x+y&\leq 5\\ x&\geq 1\\ y&\geq 0 \end{align*}

Jawab: TIDAK ADA

Soal 8

Selesaikan permasalahan programing linier di bawah ini:
Maksimumkan $x+y$ dengan kendala: \begin{align*} x+4y&\leq 12\\ 2x+y&\leq 10\\ x&\geq 0\\ y&\geq 0 \end{align*}

Jawab:

Pertama kita cari titik potong masing-masing garis pembatas.

Kedua, gambar pada bidang kartesius dan gunakan teori kebalikan.

Selanjutnya arsir DHP (Daerah Himpunan Penyelesaian) yang sebenarnya.

Cari titik-titik batas DHP.

Titik-titik batasnya yaitu $(0,0), (0,3), (5,0),$ dan perpotongan antara garis $2x+y=10$ dan $x+4y=12$. \begin{array}{rl|l|rl} 2x+4y&=10&\times 1&2x+y&=10\\ x+4y&=12&\times 2&2x+8y&=24\\ &&&-7y&=-14\\ &&&y&=2 \end{array}

Substitusi $y=2$ maka diperoleh \begin{align*} 2x+2&=10\\ 2x&=8\\ x&=4 \end{align*} Jadi titik keempat $(4,2)$.

Uji keempat titik.

Jadi maksimum $x+y$ adalah 6 dan terjadi saat $(x,y)=(4,2)$.