Terakhir diubah pada

RPS

Bab 6. Integrasi

Bab ini membahas dua jenis integrasi: integrasi tak tentu (indefinite integration) dan integrasi tentu (definite integration).

6.1 Integrasi Tak Tentu (Indefinite Integration)

• Integrasi adalah kebalikan dari diferensiasi:
• \[\int f(x)\,dx = F(x) + c, \quad F'(x) = f(x),\quad \text{dengan } c \text{ konstanta integrasi}\]
• Rumus integrasi dasar:
  • Fungsi berpangkat: \(\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + c\)
  • Fungsi eksponensial: \(\int e^{mx} dx = \frac{e^{mx}}{m} + c\)
  • Fungsi reciprocal: \(\int \frac{1}{x} dx = \ln|x| + c\)

  Aplikasi Integrasi dalam Ekonomi

  • Menentukan fungsi total dari fungsi marginal (biaya total dari biaya marginal, pendapatan total dari pendapatan marginal).
  • Menghitung surplus konsumen dan produsen.

  Contoh:

  Diberikan fungsi biaya marginal \( MC = Q^2 + 2Q + 4 \), maka biaya totalnya:

  \[TC = \int MC\,dQ = \frac{Q^3}{3} + Q^2 + 4Q + c\]

  6.2 Integrasi Tentu (Definite Integration)

  • Digunakan untuk menghitung luas area di bawah kurva:
  • \[\int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a), \quad \text{dengan} \quad F'(x)=f(x)\]

  Contoh:

  Menghitung luas area di bawah kurva \(y = x^2\) dari \(x=1\) ke \(x=2\):

  \[\int_1^2 x^2\,dx = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_1^2 = \frac{7}{3}\]

  Istilah Penting:

  • Anti-derivative (Primitive): Fungsi sebelum diferensiasi.
  • Constant of Integration: Konstanta tambahan dalam integral tak tentu.
  • Definite Integration: Integrasi dengan batas yang menghasilkan angka (area).
  • Indefinite Integration: Integrasi tanpa batas yang menghasilkan fungsi.

  Soal Latihan

  Soal 1: Integral Tak Tentu

  \[\int \left(x^{10} - 3\sqrt{x} + e^{-x}\right) dx\]

  Soal 2: Integral Tak Tentu

  \[\int \left(x^3 - \frac{5}{x^6} + \frac{2}{x} - 4e^{-4x}\right) dx\]

  Soal 3: Integral Tentu

  \[\int^5_2 \left(2x +1\right) dx\]

  Soal 4: Integral Tentu

  \[\int^4_1 \left(x^2-x +1\right) dx\]

Bab 6. Integrasi

Bab ini membahas dua jenis integrasi: integrasi tak tentu (indefinite integration) dan integrasi tentu (definite integration).

6.1 Integrasi Tak Tentu (Indefinite Integration)

• Integrasi adalah kebalikan dari diferensiasi:
• \[\int f(x)\,dx = F(x) + c, \quad F'(x) = f(x),\quad \text{dengan } c \text{ konstanta integrasi}\]
• Rumus integrasi dasar:
  • Fungsi berpangkat: \(\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + c\)
  • Fungsi eksponensial: \(\int e^{mx} dx = \frac{e^{mx}}{m} + c\)
  • Fungsi reciprocal: \(\int \frac{1}{x} dx = \ln|x| + c\)

6.2 Integrasi Tentu (Definite Integration)

• Menghitung luas area di bawah kurva:
• \[\int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a), \quad \text{dengan} \quad F'(x)=f(x)\]

6.2.1 Surplus Konsumen (Consumer’s Surplus)

\[CS = \int_0^{Q_0} f(Q)dQ - Q_0P_0\]

6.2.2 Surplus Produsen (Producer’s Surplus)

\[PS = Q_0P_0 - \int_0^{Q_0} g(Q)dQ\]

6.2.3 Aliran Investasi (Investment Flow)

\[I = \frac{dK}{dt}, \quad K(t) = \int_{t_1}^{t_2} I(t)dt\]

6.2.4 Diskonto (Discounting)

Menghitung nilai kini (present value) dari aliran pendapatan kontinyu: \[P = \int_0^n S e^{-rt/100} dt\]

Aplikasi Integrasi dalam Ekonomi

• Menentukan fungsi total dari fungsi marginal.
• Menghitung surplus konsumen dan produsen.
• Menghitung investasi dan diskonto nilai kini.

Istilah Penting:

• Anti-derivative (Primitive): Fungsi sebelum diferensiasi.
• Constant of Integration: Konstanta tambahan dalam integral tak tentu.
• Definite Integration: Integrasi dengan batas yang menghasilkan angka (area).
• Indefinite Integration: Integrasi tanpa batas yang menghasilkan fungsi.
• Consumer’s Surplus: Selisih antara jumlah yang bersedia dibayar konsumen dengan yang sebenarnya dibayar.
• Producer’s Surplus: Selisih antara pendapatan aktual dengan harga minimum yang bersedia diterima produsen.
• Investment Flow: Laju perubahan stok modal.
• Discounting: Menghitung nilai kini dari aliran pendapatan di masa depan.

Rangkuman Bab 7: Matriks

7.1 Operasi Dasar Matriks

• Notasi dan Terminologi: Matriks dinotasikan sebagai \( A, B, C \) dengan elemen \( a_{ij} \), dan berordo \( m \times n \).
• Transpos Matriks: Mengubah baris menjadi kolom, ditulis sebagai \( A^T \).
• Penjumlahan dan Pengurangan: Dilakukan elemen per elemen untuk matriks dengan ordo yang sama.
• Perkalian Matriks: Dilakukan jika jumlah kolom matriks pertama sama dengan jumlah baris matriks kedua.

7.2 Invers Matriks

Suatu matriks \( A \) memiliki invers jika \( \det(A) \neq 0 \).

Rumus invers matriks \( 2 \times 2 \):

\[ A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix}, \quad \text{dengan } \det(A) = ad - bc \]

Penerapan: Harga Ekuilibrium

Persamaan harga ekuilibrium dua barang:

\[ 9P_1 + P_2 = 43 \] \[ 2P_1 + 7P_2 = 57 \]

Bentuk matriks:

\[ \begin{bmatrix} 9 & 1 \\ 2 & 7 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} P_1 \\ P_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 43 \\ 57 \end{bmatrix} \]

Solusi diperoleh dengan metode invers matriks:

\[ \begin{bmatrix} P_1 \\ P_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 9 & 1 \\ 2 & 7 \end{bmatrix}^{-1} \begin{bmatrix} 43 \\ 57 \end{bmatrix} \]

Kesimpulan

• Matriks merupakan alat yang kuat dalam menyelesaikan sistem persamaan linear.
• Operasi matriks seperti penjumlahan, perkalian, dan invers sangat berguna dalam berbagai aplikasi ekonomi.
• Invers matriks memungkinkan penyelesaian sistem persamaan dalam bentuk yang lebih kompak dan efisien.

Rangkuman Bab 7: Determinan, Invers, dan Aturan Cramer

1. Determinan Matriks

Determinant adalah nilai skalar yang diperoleh dari matriks persegi dan digunakan untuk menemukan invers serta menyelesaikan sistem persamaan linear.

Determinan Matriks \( 2 \times 2 \)

Untuk matriks:

\[ A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} \]

Determinan dihitung dengan rumus:

\[ \det(A) = ad - bc \]

Determinan Matriks \( 3 \times 3 \)

Untuk matriks:

\[ A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{bmatrix} \]

Determinan dihitung menggunakan ekspansi kofaktor:

\[ \det(A) = a_{11}A_{11} + a_{12}A_{12} + a_{13}A_{13} \]

2. Invers Matriks

Matriks \( A \) memiliki invers \( A^{-1} \) jika memenuhi:

\[ A A^{-1} = I \]

di mana \( I \) adalah matriks identitas.

Invers Matriks \( 2 \times 2 \)

Jika \( A \) adalah:

\[ A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} \]

Maka inversnya:

\[ A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix}, \quad \text{dengan } \det(A) \neq 0 \]

3. Aturan Cramer

Aturan Cramer digunakan untuk menyelesaikan sistem persamaan linear:

\[ Ax = b \]

Solusi untuk setiap variabel:

\[ x_i = \frac{\det(A_i)}{\det(A)} \]

di mana \( A_i \) adalah matriks yang diperoleh dari \( A \) dengan mengganti kolom ke-\( i \) dengan \( b \).

Contoh

Diketahui sistem:

\[ \begin{cases} 2x + 4y = 16 \\ 3x - 5y = -9 \end{cases} \]

Dalam bentuk matriks:

\[ A = \begin{bmatrix} 2 & 4 \\ 3 & -5 \end{bmatrix}, \quad b = \begin{bmatrix} 16 \\ -9 \end{bmatrix} \]

Hitung \( \det(A) \):

\[ \det(A) = (2)(-5) - (4)(3) = -10 - 12 = -22 \]

Gunakan aturan Cramer untuk menemukan \( x \) dan \( y \).

Kesimpulan

• Determinan digunakan untuk mengetahui apakah matriks memiliki invers.
• Invers matriks membantu dalam menyelesaikan sistem persamaan linear.
• Aturan Cramer memberikan cara sistematis untuk menyelesaikan persamaan linear menggunakan determinan.

Integral

Daftar Nilai PS4B