Terakhir diubah pada

RPS

Bab 6. Integrasi

Bab ini membahas dua jenis integrasi: integrasi tak tentu (indefinite integration) dan integrasi tentu (definite integration).

6.1 Integrasi Tak Tentu (Indefinite Integration)

• Integrasi adalah kebalikan dari diferensiasi:
• \[\int f(x)\,dx = F(x) + c, \quad F'(x) = f(x),\quad \text{dengan } c \text{ konstanta integrasi}\]
• Rumus integrasi dasar:
  • Fungsi berpangkat: \(\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + c\)
  • Fungsi eksponensial: \(\int e^{mx} dx = \frac{e^{mx}}{m} + c\)
  • Fungsi reciprocal: \(\int \frac{1}{x} dx = \ln|x| + c\)

  Aplikasi Integrasi dalam Ekonomi

  • Menentukan fungsi total dari fungsi marginal (biaya total dari biaya marginal, pendapatan total dari pendapatan marginal).
  • Menghitung surplus konsumen dan produsen.

  Contoh:

  Diberikan fungsi biaya marginal \( MC = Q^2 + 2Q + 4 \), maka biaya totalnya:

  \[TC = \int MC\,dQ = \frac{Q^3}{3} + Q^2 + 4Q + c\]

  6.2 Integrasi Tentu (Definite Integration)

  • Digunakan untuk menghitung luas area di bawah kurva:
  • \[\int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a), \quad \text{dengan} \quad F'(x)=f(x)\]

  Contoh:

  Menghitung luas area di bawah kurva \(y = x^2\) dari \(x=1\) ke \(x=2\):

  \[\int_1^2 x^2\,dx = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_1^2 = \frac{7}{3}\]

  Istilah Penting:

  • Anti-derivative (Primitive): Fungsi sebelum diferensiasi.
  • Constant of Integration: Konstanta tambahan dalam integral tak tentu.
  • Definite Integration: Integrasi dengan batas yang menghasilkan angka (area).
  • Indefinite Integration: Integrasi tanpa batas yang menghasilkan fungsi.

  Soal Latihan

  Soal 1: Integral Tak Tentu

  \[\int \left(x^{10} - 3\sqrt{x} + e^{-x}\right) dx\]

  Soal 2: Integral Tak Tentu

  \[\int \left(x^3 - \frac{5}{x^6} + \frac{2}{x} - 4e^{-4x}\right) dx\]

  Soal 3: Integral Tentu

  \[\int^5_2 \left(2x +1\right) dx\]

  Soal 4: Integral Tentu

  \[\int^4_1 \left(x^2-x +1\right) dx\]

Bab 6. Integrasi

Bab ini membahas dua jenis integrasi: integrasi tak tentu (indefinite integration) dan integrasi tentu (definite integration).

6.1 Integrasi Tak Tentu (Indefinite Integration)

• Integrasi adalah kebalikan dari diferensiasi:
• \[\int f(x)\,dx = F(x) + c, \quad F'(x) = f(x),\quad \text{dengan } c \text{ konstanta integrasi}\]
• Rumus integrasi dasar:
  • Fungsi berpangkat: \(\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + c\)
  • Fungsi eksponensial: \(\int e^{mx} dx = \frac{e^{mx}}{m} + c\)
  • Fungsi reciprocal: \(\int \frac{1}{x} dx = \ln|x| + c\)

6.2 Integrasi Tentu (Definite Integration)

• Menghitung luas area di bawah kurva:
• \[\int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a), \quad \text{dengan} \quad F'(x)=f(x)\]

6.2.1 Surplus Konsumen (Consumer’s Surplus)

\[CS = \int_0^{Q_0} f(Q)dQ - Q_0P_0\]

6.2.2 Surplus Produsen (Producer’s Surplus)

\[PS = Q_0P_0 - \int_0^{Q_0} g(Q)dQ\]

6.2.3 Aliran Investasi (Investment Flow)

\[I = \frac{dK}{dt}, \quad K(t) = \int_{t_1}^{t_2} I(t)dt\]

6.2.4 Diskonto (Discounting)

Menghitung nilai kini (present value) dari aliran pendapatan kontinyu: \[P = \int_0^n S e^{-rt/100} dt\]

Aplikasi Integrasi dalam Ekonomi

• Menentukan fungsi total dari fungsi marginal.
• Menghitung surplus konsumen dan produsen.
• Menghitung investasi dan diskonto nilai kini.

Istilah Penting:

• Anti-derivative (Primitive): Fungsi sebelum diferensiasi.
• Constant of Integration: Konstanta tambahan dalam integral tak tentu.
• Definite Integration: Integrasi dengan batas yang menghasilkan angka (area).
• Indefinite Integration: Integrasi tanpa batas yang menghasilkan fungsi.
• Consumer’s Surplus: Selisih antara jumlah yang bersedia dibayar konsumen dengan yang sebenarnya dibayar.
• Producer’s Surplus: Selisih antara pendapatan aktual dengan harga minimum yang bersedia diterima produsen.
• Investment Flow: Laju perubahan stok modal.
• Discounting: Menghitung nilai kini dari aliran pendapatan di masa depan.

Rangkuman Bab 7: Matriks

7.1 Operasi Dasar Matriks

• Notasi dan Terminologi: Matriks dinotasikan sebagai \( A, B, C \) dengan elemen \( a_{ij} \), dan berordo \( m \times n \).
• Transpos Matriks: Mengubah baris menjadi kolom, ditulis sebagai \( A^T \).
• Penjumlahan dan Pengurangan: Dilakukan elemen per elemen untuk matriks dengan ordo yang sama.
• Perkalian Matriks: Dilakukan jika jumlah kolom matriks pertama sama dengan jumlah baris matriks kedua.

7.2 Invers Matriks

Suatu matriks \( A \) memiliki invers jika \( \det(A) \neq 0 \).

Rumus invers matriks \( 2 \times 2 \):

\[ A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix}, \quad \text{dengan } \det(A) = ad - bc \]

Penerapan: Harga Ekuilibrium

Persamaan harga ekuilibrium dua barang:

\[ 9P_1 + P_2 = 43 \] \[ 2P_1 + 7P_2 = 57 \]

Bentuk matriks:

\[ \begin{bmatrix} 9 & 1 \\ 2 & 7 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} P_1 \\ P_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 43 \\ 57 \end{bmatrix} \]

Solusi diperoleh dengan metode invers matriks:

\[ \begin{bmatrix} P_1 \\ P_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 9 & 1 \\ 2 & 7 \end{bmatrix}^{-1} \begin{bmatrix} 43 \\ 57 \end{bmatrix} \]

Kesimpulan

• Matriks merupakan alat yang kuat dalam menyelesaikan sistem persamaan linear.
• Operasi matriks seperti penjumlahan, perkalian, dan invers sangat berguna dalam berbagai aplikasi ekonomi.
• Invers matriks memungkinkan penyelesaian sistem persamaan dalam bentuk yang lebih kompak dan efisien.

Rangkuman Bab 7: Determinan, Invers, dan Aturan Cramer

1. Determinan Matriks

Determinant adalah nilai skalar yang diperoleh dari matriks persegi dan digunakan untuk menemukan invers serta menyelesaikan sistem persamaan linear.

Determinan Matriks \( 2 \times 2 \)

Untuk matriks:

\[ A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} \]

Determinan dihitung dengan rumus:

\[ \det(A) = ad - bc \]

Determinan Matriks \( 3 \times 3 \)

Untuk matriks:

\[ A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{bmatrix} \]

Determinan dihitung menggunakan ekspansi kofaktor:

\[ \det(A) = a_{11}A_{11} + a_{12}A_{12} + a_{13}A_{13} \]

2. Invers Matriks

Matriks \( A \) memiliki invers \( A^{-1} \) jika memenuhi:

\[ A A^{-1} = I \]

di mana \( I \) adalah matriks identitas.

Invers Matriks \( 2 \times 2 \)

Jika \( A \) adalah:

\[ A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} \]

Maka inversnya:

\[ A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix}, \quad \text{dengan } \det(A) \neq 0 \]

3. Aturan Cramer

Aturan Cramer digunakan untuk menyelesaikan sistem persamaan linear:

\[ Ax = b \]

Solusi untuk setiap variabel:

\[ x_i = \frac{\det(A_i)}{\det(A)} \]

di mana \( A_i \) adalah matriks yang diperoleh dari \( A \) dengan mengganti kolom ke-\( i \) dengan \( b \).

Contoh

Diketahui sistem:

\[ \begin{cases} 2x + 4y = 16 \\ 3x - 5y = -9 \end{cases} \]

Dalam bentuk matriks:

\[ A = \begin{bmatrix} 2 & 4 \\ 3 & -5 \end{bmatrix}, \quad b = \begin{bmatrix} 16 \\ -9 \end{bmatrix} \]

Hitung \( \det(A) \):

\[ \det(A) = (2)(-5) - (4)(3) = -10 - 12 = -22 \]

Gunakan aturan Cramer untuk menemukan \( x \) dan \( y \).

Kesimpulan

• Determinan digunakan untuk mengetahui apakah matriks memiliki invers.
• Invers matriks membantu dalam menyelesaikan sistem persamaan linear.
• Aturan Cramer memberikan cara sistematis untuk menyelesaikan persamaan linear menggunakan determinan.

Masalah Pemrograman Linier: Studio Kaca

Rangkuman Materi:

Pemrograman linier adalah metode untuk memaksimalkan atau meminimalkan suatu fungsi objektif linear yang dibatasi oleh kendala dalam bentuk pertidaksamaan linear. Teknik ini sangat penting dalam ekonomi dan manajemen untuk membantu pengambilan keputusan optimal dengan sumber daya terbatas.

Model dasar pemrograman linier terdiri dari:

• Fungsi objektif: fungsi yang akan dioptimalkan (maksimum/minimum)
• Variabel keputusan: besaran yang harus ditentukan nilainya
• Kendala: batasan yang dikenakan pada variabel keputusan
• Daerah layak: himpunan solusi yang memenuhi semua kendala

Solusi optimal dari masalah pemrograman linier dengan dua variabel dapat ditemukan secara grafis melalui:

1. Menggambar daerah layak berdasarkan semua kendala
2. Menentukan titik sudut daerah layak
3. Menilai fungsi objektif di titik-titik sudut tersebut

Soal Studi Kasus:

Sebuah studio kerajinan memproduksi mangkuk kaca dan piring kaca. Keuntungan yang diperoleh dari penjualan adalah \$150 per mangkuk dan \$100 per piring.

Variabel Keputusan:

• \( x \) = jumlah mangkuk yang diproduksi
• \( y \) = jumlah piring yang diproduksi

Fungsi Objektif:

\[ \text{Maksimalkan } Z = 150x + 100y \]

Kendala:

• Waktu meniup kaca: \( 2x + y \leq 70 \)
• Waktu pendinginan kaca: \( 4x + y \leq 130 \)
• Ketersediaan pasir silika: \( x + y \leq 45 \)
• Kendala non-negativitas: \( x \geq 0, \quad y \geq 0 \)

Langkah Penyelesaian:

1. Sketsa wilayah layak berdasarkan tiga garis batas:
• \( 2x + y = 70 \) melalui titik \( (0, 70) \) dan \( (35, 0) \)
• \( 4x + y = 130 \) melalui titik \( (0, 130) \) dan \( (32.5, 0) \)
• \( x + y = 45 \) melalui titik \( (0, 45) \) dan \( (45, 0) \)
2. Tentukan titik sudut daerah layak: (0,0), (0,45), (25,20), (30,10), dan (32.5,0)

3. Evaluasi fungsi objektif di setiap titik:
• \( (0,0): Z = 150(0) + 100(0) = 0 \)
• \( (0,45): Z = 150(0) + 100(45) = 4500 \)
• \( (25,20): Z = 150(25) + 100(20) = 5750 \)
• \( (30,10): Z = 150(30) + 100(10) = 5500 \)
• \( (32.5,0): Z = 150(32.5) + 100(0) = 4875 \)
4. Kesimpulan: Nilai maksimum \( Z = 5750 \) diperoleh saat \( x = 25 \) dan \( y = 20 \)

Analisis Shadow Price:

Jika waktu meniup kaca ditambah 1 jam menjadi \( 2x + y \leq 71 \), maka:

• Garis menjadi \( 2x + y = 71 \), berpotongan dengan \( x + y = 45 \)
• Solusi sistem: \[ \begin{aligned} x + y &= 45 \\ 2x + y &= 71 \end{aligned} \] \[ x = 26, \quad y = 19 \]
• Profit baru: \( 150(26) + 100(19) = 5800 \)
• Selisih profit: \( 5800 - 5750 = 50 \Rightarrow \text{Shadow Price} = 50 \)

Rangkuman Bab 9: Dinamika Ekonomi

Konsep Umum

Model dinamik memperkenalkan unsur waktu dalam analisis ekonomi, berbeda dengan model statis.

9.1 Persamaan Selisih (Difference Equations)

Persamaan yang menghubungkan nilai variabel dari periode ke periode:

\[ Y_t = bY_{t-1} + c \]

• Complementary Function (CF): \( A(b^t) \)
• Particular Solution (PS): Solusi khusus untuk persamaan penuh.
• General Solution: \( Y_t = A(b^t) + \text{PS} \)

Stabilitas

• \( |b| < 1 \) : konvergen (stabil)
• \( |b| > 1 \) : divergen (tidak stabil)
• \( -1 < b < 0 \) : konvergen osilatori

9.1.1 Determinasi Pendapatan Nasional

Model konsumsi dan investasi dengan lag waktu:

\[ C_t = aY_{t-1} + b, \quad I_t = I^*, \quad Y_t = C_t + I_t \]

9.1.2 Analisis Penawaran dan Permintaan

Model supply lag:

\[ Q_s = aP_{t-1} - b, \quad Q_d = -cP_t + d \]

Sistem stabil jika \( a < c \).

9.2 Persamaan Diferensial (Differential Equations)

Persamaan yang melibatkan turunan dari fungsi tak diketahui:

\[ \frac{dy}{dt} = my + c \]

• Complementary Function (CF): \( Ae^{mt} \)
• General Solution: \( y(t) = Ae^{mt} + \text{PS} \)

Stabilitas

• \( m < 0 \) : konvergen (stabil)
• \( m > 0 \) : divergen (tidak stabil)

9.2.1 Determinasi Pendapatan Nasional Berbasis Waktu Kontinu

Model perubahan pendapatan:

\[ \frac{dY}{dt} = \alpha (C + I - Y) \]

9.2.2 Analisis Penawaran dan Permintaan Berbasis Waktu Kontinu

Model perubahan harga:

\[ \frac{dP}{dt} = \alpha (Q_d - Q_s) \]

Kesimpulan

• Model diskrit → Persamaan Selisih
• Model kontinu → Persamaan Diferensial
• Stabilitas tergantung pada tanda dan besar koefisien \( b \) atau \( m \)

Ketentuan UTS

1. UTS hanya boleh dikerjakan selama 2 jam (sudah termasuk mengunggah jawaban berbentuk pdf).
2. Soal UTS boleh dikerjakan dari 13:00-14:30 dan selanjutnya klik Kirim Jawaban untuk mengunggah jawaban di google form.
3. Setiap mahasiswa akan menerima soal masing-masing sesuai dengan NIM.

Mulai UTS Kirim Jawaban

Rangkuman Bab 17: Metode Simpleks

17.1 Pendahuluan

Metode dua variabel tidak memadai untuk banyak kasus nyata. Metode simplex digunakan untuk menyelesaikan masalah linear programming dengan lebih dari dua variabel dan banyak kendala.

17.2 Kasus: Pinjaman Paling Menguntungkan

Model matematis:

\[ \max P = 2x + y \] Dengan kendala: \[ 3x + y \leq 138, \quad x + y \leq 72 \]

• Gunakan variabel slack: \( s_1, s_2 \)
• Solusi awal: \( s_1 = 138, s_2 = 72 \)
• Pivoting dilakukan untuk memaksimalkan profit

Solusi optimal: \( x = 33, \ y = 39, \ P = 105 \)

17.2.1 Contoh: Pemilihan Jenis Pembiayaan

Model:

\[ \max P = 65x + 75y + 55z \]

Kendala:

\[ 2x + 3y + 4z \leq 6000 \hspace{1cm} 4x + 3y + 2z \leq 5000 \]

Solusi optimal: \( x = 0, \ y = 1333.33, \ z = 500, \ P = 127,500 \)

17.3 Aturan Umum Simpleks

• Standardisasi: Ubah semua kendala agar RHS positif
• Slack: untuk \( \leq \)
• Surplus: untuk \( \geq \)
• Artificial: untuk \( \geq \) dan \( = \), dengan koefisien \( \pm M \)

17.3.4 Contoh: Minimasi Biaya

Model:

\[ \min Z = x_1 + x_2 + x_3 + x_4 \]

Kendala:

\[ 3x_1 + 2x_2 + x_3 \geq 1000 \]

\[ x_1 + 3x_2 + 4x_3 + 6x_4 = 1000 \]

Gunakan: slack, surplus, artificial variable. Solusi optimal:

\[ x_1 = 142.86, \quad x_2 = 285.71, \quad Z = 428.57 \]

17.4 Pertimbangan dan Keterbatasan

• Validasi manual diperlukan meskipun software tersedia
• Model linier bisa jadi tidak merepresentasikan kenyataan
• Pemilihan variabel dan asumsi linier sangat mempengaruhi hasil

Contoh Soal Simpleks: Maksimalkan dengan Satu Kendala \( \geq \)

Contoh 1

Model:

\( \max Z = 8x + 6y + 10z \)

Kendala:

• \( 3x + 2y + z \geq 30 \)
• \( x + 2y + 4z \leq 40 \)
• \( x + y + z \leq 25 \)

Variabel slack/surplus/artificial ditambahkan:

Cj     8    6    10   0   0   -M
--------------------------------
xB  |  x    y    z  s1  s2   a1  | RHS
---------------------------------------
a1 |  3    2    1   0   0    1  | 30
s1 |  1    2    4   1   0    0  | 40
s2 |  1    1    1   0   1    0  | 25
  

Iterasi 1:

• Pilih kolom pivot: z (nilai Cj terbesar)
• Hitung rasio: baris a1 → 30/1 = 30, baris s1 → 40/4 = 10, baris s2 → 25/1 = 25
• Pivot pada baris s1 dan kolom z

Jawaban Optimal: \( x = 20, y = 0, z = 5, Z = 210 \)

---

Contoh 2

Model:

\( \max Z = 20x + 25y + 30z \)

Kendala:

• \( x + y + z \geq 30 \)
• \( 2x + 3y + 4z \leq 100 \)
• \( x + 2y + z \leq 90 \)

Dengan surplus dan artificial variabel:

Cj    20   25   30   0   0   -M
--------------------------------
xB |  x    y    z  s1  s2   a1  | RHS
--------------------------------------
a1 |  1    1    1   0   0    1  | 30
s1 |  2    3    4   1   0    0  | 100
s2 |  1    2    1   0   1    0  | 90
  

Iterasi 1:

• Pilih kolom pivot: z (nilai Cj terbesar)
• Hitung rasio: baris a1 → 30/1 = 30, s1 → 100/4 = 25, s2 → 90/1 = 90
• Pivot pada baris s1 dan kolom z

Jawaban Optimal: \( x = 10, y = 10, z = 10, Z = 750 \)

Daftar Nilai PS4B