Terakhir diubah pada

RPS

Ringkasan Statistik

1. Apa Itu Statistik?

Statistik adalah ilmu yang mempelajari cara mengumpulkan, mengorganisir, menyajikan, menganalisis, dan menginterpretasikan data untuk pengambilan keputusan yang lebih efektif.

2. Jenis Statistik

Statistik Deskriptif

Metode untuk mengorganisir dan merangkum data, seperti tabel, grafik, dan ukuran ringkasan.

Statistik Inferensial

Teknik yang memungkinkan pengambilan kesimpulan tentang suatu populasi berdasarkan sampel.

3. Jenis Variabel

• Variabel Kualitatif (Kategori): Tidak berbentuk angka, misalnya jenis kelamin, warna mata.
• Variabel Kuantitatif: Berbentuk angka, terbagi menjadi:
• Diskrit: Nilai yang dapat dihitung, misalnya jumlah anak.
• Kontinu: Nilai yang dapat diukur, misalnya berat badan, tinggi badan.

4. Tingkatan Pengukuran

• Nominal: Kategori tanpa urutan (misalnya, warna, jenis kelamin).
• Ordinal: Kategori yang berurutan tetapi selisihnya tidak bermakna (misalnya, peringkat).
• Interval: Selisih antar nilai bermakna, tetapi tidak memiliki nol mutlak (misalnya, suhu dalam Celcius).
• Rasio: Memiliki nol mutlak dan perbandingan bermakna (misalnya, berat badan, tinggi badan).

5. Notasi Dasar Statistik

Rata-rata (mean) dari suatu dataset diberikan oleh:

\[ \bar{x} = \frac{\sum_{i=1}^{n} x_i}{n} \]

Simpangan baku mengukur variasi dalam data:

\[ s = \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2}{n-1}} \]

6. Etika dalam Statistik

Integritas dalam statistik melibatkan keakuratan data, menghindari bias, serta menjaga transparansi dalam pelaporan.

Deskripsi Data: Tabel Frekuensi dan Grafik

1. Pengantar

Statistik deskriptif digunakan untuk merangkum data dan mengidentifikasi pola dalam kumpulan data. Contohnya dalam industri otomotif, perusahaan menggunakan statistik untuk menganalisis keuntungan penjualan dan demografi pelanggan.

2. Tabel Frekuensi

Tabel frekuensi digunakan untuk mengelompokkan data ke dalam kelas yang saling eksklusif dan kolektif.

Distribusi Frekuensi Relatif

Profit Kendaraan	Frekuensi	Frekuensi Relatif
200 - 600	8	0.044
600 - 1000	11	0.061
1000 - 1400	23	0.128
1400 - 1800	38	0.211
1800 - 2200	45	0.250
2200 - 2600	32	0.178
2600 - 3000	19	0.106
3000 - 3400	4	0.022

3. Grafik Distribusi Frekuensi

Histogram

Histogram menampilkan kelas pada sumbu horizontal dan frekuensi pada sumbu vertikal dengan batang yang berdempetan karena data bersifat kuantitatif.

Poligon Frekuensi

Grafik garis yang menghubungkan titik-titik yang mewakili kelas dan frekuensi masing-masing.

4. Distribusi Kumulatif

Distribusi kumulatif digunakan untuk mengetahui jumlah atau persentase data yang berada di bawah batas tertentu.

Formula Interval Kelas

Interval kelas dapat dihitung dengan rumus berikut:

\[ i \geq \frac{\text{Nilai Maksimum} - \text{Nilai Minimum}}{k} \]

5. Kesimpulan

• Tabel dan grafik frekuensi membantu dalam menganalisis pola data.
• Histogram dan poligon frekuensi menunjukkan penyebaran dan konsentrasi data.
• Distribusi kumulatif memberikan informasi tambahan tentang batas-batas tertentu dalam data.

Ukuran Numerik dalam Statistik

1. Pengantar

Statistik deskriptif membantu dalam merangkum data menggunakan ukuran pemusatan dan dispersi.

2. Ukuran Pemusatan

Mean (Rata-rata)

Mean dihitung sebagai:

\[ \mu = \frac{\sum x}{N} \]

\[ \bar{x} = \frac{\sum x}{n} \]

Median

Median adalah nilai tengah dalam data yang telah diurutkan.

Modus

Nilai yang paling sering muncul dalam kumpulan data.

Mean Berbobot

\[ x_w = \frac{\sum (w_i x_i)}{\sum w_i} \]

Mean Geometrik

Digunakan untuk menghitung rata-rata perubahan atau pertumbuhan:

\[ GM = \sqrt[n]{x_1 \cdot x_2 \cdots x_n} \]

3. Ukuran Dispersi

Jangkauan (Range)

\[ \text{Range} = X_{\max} - X_{\min} \]

Varians

\[ \sigma^2 = \frac{\sum (x - \mu)^2}{N} \]

\[ s^2 = \frac{\sum (x - \bar{x})^2}{n - 1} \]

Simpangan Baku

\[ \sigma = \sqrt{\sigma^2}, \quad s = \sqrt{s^2} \]

4. Distribusi dan Aturan Statistik

Teorema Chebyshev

\[ 1 - \frac{1}{k^2} \]

Aturan Empiris

• 68% data dalam 1 simpangan baku.
• 95% data dalam 2 simpangan baku.
• 99.7% data dalam 3 simpangan baku.

5. Mean dan Simpangan Baku untuk Data Berkelompok

Mean untuk Data Berkelompok

\[ \bar{x} = \frac{\sum fM}{n} \]

Simpangan Baku untuk Data Berkelompok

\[ s = \sqrt{\frac{\sum f (M - \bar{x})^2}{n - 1}} \]

6. Kesimpulan

• Mean adalah ukuran pemusatan paling umum tetapi bisa dipengaruhi oleh nilai ekstrem.
• Median lebih baik dalam kasus data dengan pencilan.
• Modus berguna untuk data kategori.
• Simpangan baku dan varians membantu memahami sebaran data.

Bab 4: Menyajikan dan Mengeksplorasi Data

1. Dot Plot

Dot plot adalah grafik titik yang mempertahankan identitas setiap pengamatan. Cocok untuk data kecil dan membantu melihat penyebaran, pencilan, serta konsentrasi nilai.

2. Ukuran Posisi

• Kuartil: membagi data menjadi 4 bagian.
• Desil: membagi data menjadi 10 bagian.
• Persentil: membagi data menjadi 100 bagian.

Rumus lokasi persentil:

\[ L_p = \frac{(n+1) \cdot P}{100} \]

3. Box Plot

Box plot adalah grafik berdasarkan lima angka penting: nilai minimum, kuartil pertama (Q1), median, kuartil ketiga (Q3), dan nilai maksimum. Juga menunjukkan pencilan (outlier).

\[ \text{Outlier} < Q1 - 1.5 \cdot IQR \quad \text{atau} \quad \text{Outlier} > Q3 + 1.5 \cdot IQR \]

Contoh

4. Skewness (Koefisien Kemencengan)

Ukuran ketidaksimetrian distribusi:

• Simetris: mean ≈ median
• Positif: mean > median
• Negatif: mean < median

Rumus Pearson:

\[ sk = \frac{3(\bar{x} - \text{median})}{s} \]

Rumus Software:

\[ sk = \frac{n}{(n - 1)(n - 2)} \sum \left( \frac{x - \bar{x}}{s} \right)^3 \]

Contoh

5. Scatter Diagram dan Korelasi

Scatter plot menunjukkan hubungan dua variabel kuantitatif.

Rumus koefisien korelasi:

\[ r = \frac{\sum (x - \bar{x})(y - \bar{y})}{(n - 1)s_x s_y} \]

• \( r = 1 \): korelasi positif sempurna
• \( r = -1 \): korelasi negatif sempurna
• \( r = 0 \): tidak ada hubungan linier

6. Tabel Kontingensi

Tabel dua arah untuk menyajikan hubungan antara dua variabel kategori (nominal/ordinal). Digunakan untuk membandingkan frekuensi atau proporsi.

7. Ringkasan Bab

• Dot plot dan box plot membantu memahami bentuk distribusi data.
• Ukuran posisi (kuartil, persentil) memberi gambaran sebaran nilai.
• Koefisien skewness menunjukkan ketidaksimetrian.
• Scatter plot dan korelasi digunakan untuk melihat hubungan antar variabel kuantitatif.
• Tabel kontingensi digunakan untuk hubungan antar variabel kategori.

Bab 5: Konsep Dasar Probabilitas

1. Definisi Dasar

Eksperimen: Proses menghasilkan hasil tertentu.
Hasil: Salah satu kemungkinan hasil eksperimen.
Peristiwa: Satu atau lebih hasil eksperimen.

2. Pendekatan Probabilitas

a) Pendekatan Klasik

\[ P(\text{Peristiwa}) = \frac{\text{Jumlah hasil yang diinginkan}}{\text{Jumlah semua hasil}} \]

Contoh: Peluang mendapatkan angka 3 dari pelemparan dadu:

\[ P(3) = \frac{1}{6} \]

b) Pendekatan Empiris

\[ P(\text{Peristiwa}) = \frac{\text{Jumlah peristiwa terjadi}}{\text{Jumlah total percobaan}} \]

Contoh: 110 "Head" dari 200 lemparan:

\[ P(\text{Head}) = \frac{110}{200} = 0.55 \]

c) Pendekatan Subjektif

Probabilitas berdasarkan keyakinan atau intuisi.

3. Aturan Penjumlahan

Peristiwa Saling Eksklusif:

\[ P(A \text{ atau } B) = P(A) + P(B) \]

Contoh: Peluang memilih King atau Queen dari kartu remi:

\[ P = \frac{4}{52} + \frac{4}{52} = \frac{8}{52} = \frac{2}{13} \]

Peristiwa Tidak Saling Eksklusif:

\[ P(A \text{ atau } B) = P(A) + P(B) - P(A \text{ dan } B) \]

Contoh: Peluang mahasiswa mengambil Matematika atau Ekonomi:

\[ 0.6 + 0.5 - 0.3 = 0.8 \]

4. Aturan Perkalian

Peristiwa Independen:

\[ P(A \text{ dan } B) = P(A) \times P(B) \]

Contoh: Dua "head" dalam dua lemparan:

\[ 0.5 \times 0.5 = 0.25 \]

Peristiwa Dependen:

\[ P(A \text{ dan } B) = P(A) \times P(B|A) \]

5. Tabel Kontingensi

Tabel untuk menghitung probabilitas marjinal, bersyarat, dan gabungan.

6. Diagram Pohon

Diagram bercabang untuk menunjukkan semua kemungkinan hasil dalam beberapa tahap eksperimen.

7. Teorema Bayes

\[ P(A|B) = \frac{P(A)P(B|A)}{P(A)P(B|A) + P(A^c)P(B|A^c)} \]

Digunakan untuk memperbarui probabilitas berdasarkan bukti baru.

Contoh:

Tim bisbol Ludlow Wildcats, sebuah tim liga kecil dari organisasi Cleveland Indians, memainkan:

• 70% dari permainan mereka pada malam hari.
• 30% dari permainan mereka pada siang hari.

Tingkat kemenangan mereka:

• Menang 50% dari permainan malam.
• Menang 90% dari permainan siang.

Menurut koran hari ini, mereka menang kemarin.

Berapa probabilitas bahwa permainan tersebut dimainkan pada malam hari?

Gunakan Teorema Bayes:

\[ P(\text{Night | Win}) = \frac{P(\text{Night}) \times P(\text{Win | Night})}{P(\text{Night}) \times P(\text{Win | Night}) + P(\text{Day}) \times P(\text{Win | Day})} \]

Diketahui:

• \( P(\text{Night}) = 0.70 \)
• \( P(\text{Day}) = 0.30 \)
• \( P(\text{Win | Night}) = 0.50 \)
• \( P(\text{Win | Day}) = 0.90 \)

8. Permutasi dan Kombinasi

Permutasi (Urutan Penting):

\[ nPr = \frac{n!}{(n-r)!} \]

Contoh: 5 siswa memilih ketua dan wakil:

\[ 5P2 = \frac{5!}{(5-2)!} = 20 \]

Kombinasi (Urutan Tidak Penting):

\[ nCr = \frac{n!}{r!(n-r)!} \]

Contoh: 5 siswa memilih 2 untuk tim:

\[ 5C2 = \frac{5!}{2!3!} = 10 \]

9. Kesimpulan

• Probabilitas adalah dasar untuk pengambilan keputusan di bawah ketidakpastian.
• Gunakan aturan penjumlahan, perkalian, Teorema Bayes, permutasi, dan kombinasi sesuai kebutuhan soal.
• Tabel kontingensi dan diagram pohon membantu visualisasi masalah probabilitas kompleks.

Distribusi Probabilitas Diskrit

Pendahuluan

Distribusi probabilitas menggambarkan bagaimana probabilitas tersebar pada setiap kemungkinan hasil dari suatu variabel acak.

Variabel acak (random variable) adalah suatu fungsi yang menghubungkan setiap hasil dari suatu eksperimen dengan sebuah angka real.

Jika variabel acak hanya dapat mengambil nilai tertentu yang terpisah (diskrit), maka distribusinya disebut sebagai distribusi probabilitas diskrit.

Distribusi probabilitas diskrit menyatakan probabilitas setiap nilai diskrit dari variabel acak. Syarat distribusi probabilitas diskrit adalah:

• \( 0 \leq P(x) \leq 1 \)
• \( \sum P(x) = 1 \)

Distribusi probabilitas diskrit dibedakan berdasarkan sifat eksperimennya. Suatu eksperimen dapat diklasifikasikan ke dalam salah satu dari distribusi berikut:

• Distribusi Binomial: digunakan saat percobaan terdiri dari beberapa percobaan independen dengan dua hasil (sukses/gagal) dan probabilitas sukses yang tetap.
• Distribusi Hipergeometrik: digunakan saat pengambilan sampel dilakukan tanpa pengembalian dari populasi terbatas.
• Distribusi Poisson: digunakan untuk menghitung jumlah kejadian dalam suatu interval waktu atau ruang, dengan kejadian yang jarang dan independen.

1. Distribusi Diskrit Umum

Mean: \( \mu = \sum x \cdot P(x) \)
Varians: \( \sigma^2 = \sum (x - \mu)^2 \cdot P(x) \)

Contoh: Seorang penjual koran menjual 3 koran per hari. Probabilitasnya:

x (koran)	0	1	2	3
P(x)	0.1	0.3	0.4	0.2

\[ \mu = 0(0.1) + 1(0.3) + 2(0.4) + 3(0.2) = 1.7 \]
\[ \sigma^2 = \sum (x - \mu)^2 \cdot P(x) \]

2. Distribusi Binomial

Rumus: \( P(x) = \binom{n}{x} \pi^x (1 - \pi)^{n - x} \)
Mean: \( \mu = n\pi \), Varians: \( \sigma^2 = n\pi(1 - \pi) \)

Contoh: Peluang cacat suatu produk 0.1, diambil 5 produk. Tentukan peluang tepat 2 cacat.

\[ P(x = 2) = \binom{5}{2} (0.1)^2 (0.9)^3 = 10 \cdot 0.01 \cdot 0.729 = 0.0729 \]

3. Distribusi Hipergeometrik

Rumus: \( P(x) = \frac{\binom{S}{x} \binom{N - S}{n - x}}{\binom{N}{n}} \)
Mean: \( \mu = n \cdot \frac{S}{N} \), Varians: \( \sigma^2 = n \cdot \frac{S}{N} \cdot \frac{N - S}{N} \cdot \frac{N - n}{N - 1} \)

Contoh: Dari 12 barang (4 cacat), diambil 5 tanpa pengembalian. Tentukan peluang tepat 2 cacat.

\[ P(x = 2) = \frac{\binom{4}{2} \cdot \binom{8}{3}}{\binom{12}{5}} = \frac{6 \cdot 56}{792} = \frac{336}{792} \approx 0.424 \]

4. Distribusi Poisson

Rumus: \( P(x) = \frac{\mu^x e^{-\mu}}{x!} \)
Mean dan Varians: \( \mu = \sigma^2 \)

Contoh: Rata-rata 2 panggilan per menit. Berapa peluang 3 panggilan masuk dalam satu menit?

\[ P(x = 3) = \frac{2^3 e^{-2}}{3!} = \frac{8 \cdot e^{-2}}{6} \approx 0.1804 \]

Ringkasan Rumus

Distribusi	Probabilitas	Mean	Varians
Diskrit Umum	-	\( \sum x P(x) \)	\( \sum (x - \mu)^2 P(x) \)
Binomial	\( \binom{n}{x} \pi^x (1 - \pi)^{n - x} \)	\( n\pi \)	\( n\pi(1 - \pi) \)
Hipergeometrik	\( \frac{\binom{S}{x} \binom{N - S}{n - x}}{\binom{N}{n}} \)	\( n \cdot \frac{S}{N} \)	\( n \cdot \frac{S}{N} \cdot \frac{N - S}{N} \cdot \frac{N - n}{N - 1} \)
Poisson	\( \frac{\mu^x e^{-\mu}}{x!} \)	\( \mu \)	\( \mu \)

Daftar Nilai PWS2A

Daftar Nilai MBS2D

Daftar Nilai MBS2E