Terakhir diubah pada

RPS

Ringkasan Statistik

1. Apa Itu Statistik?

Statistik adalah ilmu yang mempelajari cara mengumpulkan, mengorganisir, menyajikan, menganalisis, dan menginterpretasikan data untuk pengambilan keputusan yang lebih efektif.

2. Jenis Statistik

Statistik Deskriptif

Metode untuk mengorganisir dan merangkum data, seperti tabel, grafik, dan ukuran ringkasan.

Statistik Inferensial

Teknik yang memungkinkan pengambilan kesimpulan tentang suatu populasi berdasarkan sampel.

3. Jenis Variabel

• Variabel Kualitatif (Kategori): Tidak berbentuk angka, misalnya jenis kelamin, warna mata.
• Variabel Kuantitatif: Berbentuk angka, terbagi menjadi:
• Diskrit: Nilai yang dapat dihitung, misalnya jumlah anak.
• Kontinu: Nilai yang dapat diukur, misalnya berat badan, tinggi badan.

4. Tingkatan Pengukuran

• Nominal: Kategori tanpa urutan (misalnya, warna, jenis kelamin).
• Ordinal: Kategori yang berurutan tetapi selisihnya tidak bermakna (misalnya, peringkat).
• Interval: Selisih antar nilai bermakna, tetapi tidak memiliki nol mutlak (misalnya, suhu dalam Celcius).
• Rasio: Memiliki nol mutlak dan perbandingan bermakna (misalnya, berat badan, tinggi badan).

5. Notasi Dasar Statistik

Rata-rata (mean) dari suatu dataset diberikan oleh:

\[ \bar{x} = \frac{\sum_{i=1}^{n} x_i}{n} \]

Simpangan baku mengukur variasi dalam data:

\[ s = \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2}{n-1}} \]

6. Etika dalam Statistik

Integritas dalam statistik melibatkan keakuratan data, menghindari bias, serta menjaga transparansi dalam pelaporan.

Deskripsi Data: Tabel Frekuensi dan Grafik

1. Pengantar

Statistik deskriptif digunakan untuk merangkum data dan mengidentifikasi pola dalam kumpulan data. Contohnya dalam industri otomotif, perusahaan menggunakan statistik untuk menganalisis keuntungan penjualan dan demografi pelanggan.

2. Tabel Frekuensi

Tabel frekuensi digunakan untuk mengelompokkan data ke dalam kelas yang saling eksklusif dan kolektif.

Distribusi Frekuensi Relatif

Profit Kendaraan	Frekuensi	Frekuensi Relatif
200 - 600	8	0.044
600 - 1000	11	0.061
1000 - 1400	23	0.128
1400 - 1800	38	0.211
1800 - 2200	45	0.250
2200 - 2600	32	0.178
2600 - 3000	19	0.106
3000 - 3400	4	0.022

3. Grafik Distribusi Frekuensi

Histogram

Histogram menampilkan kelas pada sumbu horizontal dan frekuensi pada sumbu vertikal dengan batang yang berdempetan karena data bersifat kuantitatif.

Poligon Frekuensi

Grafik garis yang menghubungkan titik-titik yang mewakili kelas dan frekuensi masing-masing.

4. Distribusi Kumulatif

Distribusi kumulatif digunakan untuk mengetahui jumlah atau persentase data yang berada di bawah batas tertentu.

Formula Interval Kelas

Interval kelas dapat dihitung dengan rumus berikut:

\[ i \geq \frac{\text{Nilai Maksimum} - \text{Nilai Minimum}}{k} \]

5. Kesimpulan

• Tabel dan grafik frekuensi membantu dalam menganalisis pola data.
• Histogram dan poligon frekuensi menunjukkan penyebaran dan konsentrasi data.
• Distribusi kumulatif memberikan informasi tambahan tentang batas-batas tertentu dalam data.

Ukuran Numerik dalam Statistik

1. Pengantar

Statistik deskriptif membantu dalam merangkum data menggunakan ukuran pemusatan dan dispersi.

2. Ukuran Pemusatan

Mean (Rata-rata)

Mean dihitung sebagai:

\[ \mu = \frac{\sum x}{N} \]

\[ \bar{x} = \frac{\sum x}{n} \]

Median

Median adalah nilai tengah dalam data yang telah diurutkan.

Modus

Nilai yang paling sering muncul dalam kumpulan data.

Mean Berbobot

\[ x_w = \frac{\sum (w_i x_i)}{\sum w_i} \]

Mean Geometrik

Digunakan untuk menghitung rata-rata perubahan atau pertumbuhan:

\[ GM = \sqrt[n]{x_1 \cdot x_2 \cdots x_n} \]

3. Ukuran Dispersi

Jangkauan (Range)

\[ \text{Range} = X_{\max} - X_{\min} \]

Varians

\[ \sigma^2 = \frac{\sum (x - \mu)^2}{N} \]

\[ s^2 = \frac{\sum (x - \bar{x})^2}{n - 1} \]

Simpangan Baku

\[ \sigma = \sqrt{\sigma^2}, \quad s = \sqrt{s^2} \]

4. Distribusi dan Aturan Statistik

Teorema Chebyshev

\[ 1 - \frac{1}{k^2} \]

Aturan Empiris

• 68% data dalam 1 simpangan baku.
• 95% data dalam 2 simpangan baku.
• 99.7% data dalam 3 simpangan baku.

5. Mean dan Simpangan Baku untuk Data Berkelompok

Mean untuk Data Berkelompok

\[ \bar{x} = \frac{\sum fM}{n} \]

Simpangan Baku untuk Data Berkelompok

\[ s = \sqrt{\frac{\sum f (M - \bar{x})^2}{n - 1}} \]

6. Kesimpulan

• Mean adalah ukuran pemusatan paling umum tetapi bisa dipengaruhi oleh nilai ekstrem.
• Median lebih baik dalam kasus data dengan pencilan.
• Modus berguna untuk data kategori.
• Simpangan baku dan varians membantu memahami sebaran data.

Bab 4: Menyajikan dan Mengeksplorasi Data

1. Dot Plot

Dot plot adalah grafik titik yang mempertahankan identitas setiap pengamatan. Cocok untuk data kecil dan membantu melihat penyebaran, pencilan, serta konsentrasi nilai.

2. Ukuran Posisi

• Kuartil: membagi data menjadi 4 bagian.
• Desil: membagi data menjadi 10 bagian.
• Persentil: membagi data menjadi 100 bagian.

Rumus lokasi persentil:

\[ L_p = \frac{(n+1) \cdot P}{100} \]

3. Box Plot

Box plot adalah grafik berdasarkan lima angka penting: nilai minimum, kuartil pertama (Q1), median, kuartil ketiga (Q3), dan nilai maksimum. Juga menunjukkan pencilan (outlier).

\[ \text{Outlier} < Q1 - 1.5 \cdot IQR \quad \text{atau} \quad \text{Outlier} > Q3 + 1.5 \cdot IQR \]

Contoh

4. Skewness (Koefisien Kemencengan)

Ukuran ketidaksimetrian distribusi:

• Simetris: mean ≈ median
• Positif: mean > median
• Negatif: mean < median

Rumus Pearson:

\[ sk = \frac{3(\bar{x} - \text{median})}{s} \]

Rumus Software:

\[ sk = \frac{n}{(n - 1)(n - 2)} \sum \left( \frac{x - \bar{x}}{s} \right)^3 \]

Contoh

5. Scatter Diagram dan Korelasi

Scatter plot menunjukkan hubungan dua variabel kuantitatif.

Rumus koefisien korelasi:

\[ r = \frac{\sum (x - \bar{x})(y - \bar{y})}{(n - 1)s_x s_y} \]

• \( r = 1 \): korelasi positif sempurna
• \( r = -1 \): korelasi negatif sempurna
• \( r = 0 \): tidak ada hubungan linier

6. Tabel Kontingensi

Tabel dua arah untuk menyajikan hubungan antara dua variabel kategori (nominal/ordinal). Digunakan untuk membandingkan frekuensi atau proporsi.

7. Ringkasan Bab

• Dot plot dan box plot membantu memahami bentuk distribusi data.
• Ukuran posisi (kuartil, persentil) memberi gambaran sebaran nilai.
• Koefisien skewness menunjukkan ketidaksimetrian.
• Scatter plot dan korelasi digunakan untuk melihat hubungan antar variabel kuantitatif.
• Tabel kontingensi digunakan untuk hubungan antar variabel kategori.

Bab 5: Konsep Dasar Probabilitas

1. Definisi Dasar

Eksperimen: Proses menghasilkan hasil tertentu.
Hasil: Salah satu kemungkinan hasil eksperimen.
Peristiwa: Satu atau lebih hasil eksperimen.

2. Pendekatan Probabilitas

a) Pendekatan Klasik

\[ P(\text{Peristiwa}) = \frac{\text{Jumlah hasil yang diinginkan}}{\text{Jumlah semua hasil}} \]

Contoh: Peluang mendapatkan angka 3 dari pelemparan dadu:

\[ P(3) = \frac{1}{6} \]

b) Pendekatan Empiris

\[ P(\text{Peristiwa}) = \frac{\text{Jumlah peristiwa terjadi}}{\text{Jumlah total percobaan}} \]

Contoh: 110 "Head" dari 200 lemparan:

\[ P(\text{Head}) = \frac{110}{200} = 0.55 \]

c) Pendekatan Subjektif

Probabilitas berdasarkan keyakinan atau intuisi.

3. Aturan Penjumlahan

Peristiwa Saling Eksklusif:

\[ P(A \text{ atau } B) = P(A) + P(B) \]

Contoh: Peluang memilih King atau Queen dari kartu remi:

\[ P = \frac{4}{52} + \frac{4}{52} = \frac{8}{52} = \frac{2}{13} \]

Peristiwa Tidak Saling Eksklusif:

\[ P(A \text{ atau } B) = P(A) + P(B) - P(A \text{ dan } B) \]

Contoh: Peluang mahasiswa mengambil Matematika atau Ekonomi:

\[ 0.6 + 0.5 - 0.3 = 0.8 \]

4. Aturan Perkalian

Peristiwa Independen:

\[ P(A \text{ dan } B) = P(A) \times P(B) \]

Contoh: Dua "head" dalam dua lemparan:

\[ 0.5 \times 0.5 = 0.25 \]

Peristiwa Dependen:

\[ P(A \text{ dan } B) = P(A) \times P(B|A) \]

5. Tabel Kontingensi

Tabel untuk menghitung probabilitas marjinal, bersyarat, dan gabungan.

6. Diagram Pohon

Diagram bercabang untuk menunjukkan semua kemungkinan hasil dalam beberapa tahap eksperimen.

7. Teorema Bayes

\[ P(A|B) = \frac{P(A)P(B|A)}{P(A)P(B|A) + P(A^c)P(B|A^c)} \]

Digunakan untuk memperbarui probabilitas berdasarkan bukti baru.

Contoh:

Tim bisbol Ludlow Wildcats, sebuah tim liga kecil dari organisasi Cleveland Indians, memainkan:

• 70% dari permainan mereka pada malam hari.
• 30% dari permainan mereka pada siang hari.

Tingkat kemenangan mereka:

• Menang 50% dari permainan malam.
• Menang 90% dari permainan siang.

Menurut koran hari ini, mereka menang kemarin.

Berapa probabilitas bahwa permainan tersebut dimainkan pada malam hari?

Gunakan Teorema Bayes:

\[ P(\text{Night | Win}) = \frac{P(\text{Night}) \times P(\text{Win | Night})}{P(\text{Night}) \times P(\text{Win | Night}) + P(\text{Day}) \times P(\text{Win | Day})} \]

Diketahui:

• \( P(\text{Night}) = 0.70 \)
• \( P(\text{Day}) = 0.30 \)
• \( P(\text{Win | Night}) = 0.50 \)
• \( P(\text{Win | Day}) = 0.90 \)

8. Permutasi dan Kombinasi

Permutasi (Urutan Penting):

\[ nPr = \frac{n!}{(n-r)!} \]

Contoh: 5 siswa memilih ketua dan wakil:

\[ 5P2 = \frac{5!}{(5-2)!} = 20 \]

Kombinasi (Urutan Tidak Penting):

\[ nCr = \frac{n!}{r!(n-r)!} \]

Contoh: 5 siswa memilih 2 untuk tim:

\[ 5C2 = \frac{5!}{2!3!} = 10 \]

9. Kesimpulan

• Probabilitas adalah dasar untuk pengambilan keputusan di bawah ketidakpastian.
• Gunakan aturan penjumlahan, perkalian, Teorema Bayes, permutasi, dan kombinasi sesuai kebutuhan soal.
• Tabel kontingensi dan diagram pohon membantu visualisasi masalah probabilitas kompleks.

Distribusi Probabilitas Diskrit

Pendahuluan

Distribusi probabilitas menggambarkan bagaimana probabilitas tersebar pada setiap kemungkinan hasil dari suatu variabel acak.

Variabel acak (random variable) adalah suatu fungsi yang menghubungkan setiap hasil dari suatu eksperimen dengan sebuah angka real.

Jika variabel acak hanya dapat mengambil nilai tertentu yang terpisah (diskrit), maka distribusinya disebut sebagai distribusi probabilitas diskrit.

Distribusi probabilitas diskrit menyatakan probabilitas setiap nilai diskrit dari variabel acak. Syarat distribusi probabilitas diskrit adalah:

• \( 0 \leq P(x) \leq 1 \)
• \( \sum P(x) = 1 \)

Distribusi probabilitas diskrit dibedakan berdasarkan sifat eksperimennya. Suatu eksperimen dapat diklasifikasikan ke dalam salah satu dari distribusi berikut:

• Distribusi Binomial: digunakan saat percobaan terdiri dari beberapa percobaan independen dengan dua hasil (sukses/gagal) dan probabilitas sukses yang tetap.
• Distribusi Hipergeometrik: digunakan saat pengambilan sampel dilakukan tanpa pengembalian dari populasi terbatas.
• Distribusi Poisson: digunakan untuk menghitung jumlah kejadian dalam suatu interval waktu atau ruang, dengan kejadian yang jarang dan independen.

1. Distribusi Diskrit Umum

Mean: \( \mu = \sum x \cdot P(x) \)
Varians: \( \sigma^2 = \sum (x - \mu)^2 \cdot P(x) \)

Contoh: Seorang penjual koran menjual 3 koran per hari. Probabilitasnya:

x (koran)	0	1	2	3
P(x)	0.1	0.3	0.4	0.2

\[ \mu = 0(0.1) + 1(0.3) + 2(0.4) + 3(0.2) = 1.7 \]
\[ \sigma^2 = \sum (x - \mu)^2 \cdot P(x) \]

2. Distribusi Binomial

Rumus: \( P(x) = \binom{n}{x} \pi^x (1 - \pi)^{n - x} \)
Mean: \( \mu = n\pi \), Varians: \( \sigma^2 = n\pi(1 - \pi) \)

Contoh: Peluang cacat suatu produk 0.1, diambil 5 produk. Tentukan peluang tepat 2 cacat.

\[ P(x = 2) = \binom{5}{2} (0.1)^2 (0.9)^3 = 10 \cdot 0.01 \cdot 0.729 = 0.0729 \]

3. Distribusi Hipergeometrik

Rumus: \( P(x) = \frac{\binom{S}{x} \binom{N - S}{n - x}}{\binom{N}{n}} \)
Mean: \( \mu = n \cdot \frac{S}{N} \), Varians: \( \sigma^2 = n \cdot \frac{S}{N} \cdot \frac{N - S}{N} \cdot \frac{N - n}{N - 1} \)

Contoh: Dari 12 barang (4 cacat), diambil 5 tanpa pengembalian. Tentukan peluang tepat 2 cacat.

\[ P(x = 2) = \frac{\binom{4}{2} \cdot \binom{8}{3}}{\binom{12}{5}} = \frac{6 \cdot 56}{792} = \frac{336}{792} \approx 0.424 \]

4. Distribusi Poisson

Rumus: \( P(x) = \frac{\mu^x e^{-\mu}}{x!} \)
Mean dan Varians: \( \mu = \sigma^2 \)

Contoh: Rata-rata 2 panggilan per menit. Berapa peluang 3 panggilan masuk dalam satu menit?

\[ P(x = 3) = \frac{2^3 e^{-2}}{3!} = \frac{8 \cdot e^{-2}}{6} \approx 0.1804 \]

Ringkasan Rumus

Distribusi	Probabilitas	Mean	Varians
Diskrit Umum	-	\( \sum x P(x) \)	\( \sum (x - \mu)^2 P(x) \)
Binomial	\( \binom{n}{x} \pi^x (1 - \pi)^{n - x} \)	\( n\pi \)	\( n\pi(1 - \pi) \)
Hipergeometrik	\( \frac{\binom{S}{x} \binom{N - S}{n - x}}{\binom{N}{n}} \)	\( n \cdot \frac{S}{N} \)	\( n \cdot \frac{S}{N} \cdot \frac{N - S}{N} \cdot \frac{N - n}{N - 1} \)
Poisson	\( \frac{\mu^x e^{-\mu}}{x!} \)	\( \mu \)	\( \mu \)

Distribusi Peluang Kontinu

1. Distribusi Uniform Kontinu

Ciri-ciri:

• Semua nilai dalam interval \([a, b]\) memiliki peluang yang sama
• Digunakan saat data seragam, misalnya waktu tunggu

Rumus:

• Fungsi kerapatan: \( f(x) = \frac{1}{b - a} \)
• Mean: \( \mu = \frac{a + b}{2} \)
• Standar deviasi: \( \sigma = \sqrt{\frac{(b - a)^2}{12}} \)
• Probabilitas: \( P(c \leq x \leq d) = \frac{d - c}{b - a} \)

Contoh: Waktu pelayanan antara 4 hingga 10 menit. Peluang pelanggan dilayani antara 5 dan 8 menit:

\[ P(5 \leq x \leq 8) = \frac{8 - 5}{10 - 4} = \frac{3}{6} = 0.5 \]

2. Distribusi Normal

Ciri-ciri:

• Kurva lonceng simetris
• Mean = median = modus
• Total area di bawah kurva = 1

Rumus:

\[ f(x) = \frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}} e^{- \frac{(x - \mu)^2}{2\sigma^2}} \]

Contoh: Nilai ujian dengan \( \mu = 70 \), \( \sigma = 10 \), cari peluang \( x < 85 \):

\[ z = \frac{85 - 70}{10} = 1.5 \Rightarrow P(Z < 1.5) = 0.9332 \]

3. Distribusi Normal Standar

Distribusi dengan \( \mu = 0 \), \( \sigma = 1 \), gunakan transformasi:

\[ z = \frac{x - \mu}{\sigma} \]

Contoh: \( x = 82, \mu = 80, \sigma = 4 \Rightarrow z = 0.5 \Rightarrow P(Z < 0.5) = 0.6915 \)

4. Distribusi Eksponensial

Ciri: memodelkan waktu antar kejadian (positively skewed)

Rumus:

• Fungsi probabilitas: \( f(x) = \lambda e^{-\lambda x} \)
• Mean dan standar deviasi: \( \mu = \sigma = \frac{1}{\lambda} \)

Contoh: Rata-rata antar kedatangan 10 menit, cari peluang pelanggan datang < 5 menit:

\[ \lambda = 0.1 \Rightarrow P(x < 5) = 1 - e^{-0.1 \cdot 5} = 1 - e^{-0.5} \approx 0.3935 \]

Bab 8: Sampling, Metode Sampling, dan Teorema Limit Pusat

1. Pengenalan Sampling

• Populasi vs. Sampel: Populasi adalah seluruh kelompok individu atau objek yang menjadi fokus studi, sedangkan sampel adalah bagian dari populasi.
• Tujuan Sampling: Menghemat waktu dan biaya, terutama ketika populasi besar atau sulit diakses.
• Alasan Sampling:
  1. Efisiensi Waktu: Menghubungi seluruh populasi memakan waktu lama.
  2. Biaya: Studi terhadap seluruh populasi bisa sangat mahal.
  3. Keterbatasan Fisik: Beberapa populasi terlalu besar atau dinamis untuk diukur sepenuhnya.
  4. Uji Destruktif: Beberapa pengujian merusak sampel (misalnya, uji kekuatan bahan).

2. Metode Sampling

1. Simple Random Sampling (Sampling Acak Sederhana):
   • Setiap anggota populasi memiliki peluang yang sama untuk terpilih.
   • Contoh: Menggunakan tabel angka acak atau generator angka acak untuk memilih sampel.
2. Systematic Random Sampling (Sampling Sistematis):
   • Memilih sampel dengan interval tetap (misalnya, setiap anggota ke-10 dari daftar populasi).
   • Contoh: Memilih setiap pelanggan ke-10 yang masuk toko.
3. Stratified Random Sampling (Sampling Stratifikasi):
   • Populasi dibagi ke dalam strata (kelompok homogen), lalu sampel diambil dari setiap strata.
   • Contoh: Membagi perusahaan berdasarkan profitabilitas, lalu mengambil sampel dari setiap kelompok.
4. Cluster Sampling (Sampling Kluster):
   • Populasi dibagi ke dalam kluster (berdasarkan wilayah atau kelompok alami), lalu beberapa kluster dipilih secara acak untuk diambil sampelnya.
   • Contoh: Memilih beberapa kabupaten secara acak untuk survei penduduk.

Contoh-contoh Lain

1. Simple Random Sampling

• Contoh 1: Sebuah universitas ingin mengetahui tingkat kepuasan mahasiswa terhadap layanan perpustakaan. Dari total 10.000 mahasiswa, 500 dipilih secara acak menggunakan nomor induk mahasiswa sebagai sampel.
• Contoh 2: Sebuah perusahaan memproduksi 50.000 produk dan ingin mengecek kualitas. 200 produk diambil secara acak dari seluruh produksi untuk diuji kualitasnya.

2. Systematic Sampling

• Contoh 1: Dari daftar pelanggan sebuah toko online, mulai dari pelanggan ke-3 secara acak, kemudian setiap pelanggan ke-10 dipilih untuk dihubungi guna survei kepuasan.
• Contoh 2: Dalam pengawasan produksi, operator memeriksa setiap produk ke-20 dari jalur produksi setelah memilih produk pertama secara acak.

3. Stratified Sampling

• Contoh 1: Dalam survei penduduk, populasi dibagi berdasarkan umur (remaja, dewasa, lansia). Sampel diambil secara proporsional dari tiap kelompok umur agar representatif.
• Contoh 2: Sebuah sekolah ingin mengevaluasi prestasi belajar berdasarkan jurusan. Dari masing-masing jurusan (IPA, IPS, Bahasa), diambil sampel siswa sesuai proporsi jumlah jurusan tersebut.

4. Cluster Sampling

• Contoh 1: Dalam survei kependudukan di sebuah kota, beberapa kelurahan dipilih secara acak, lalu seluruh penduduk di kelurahan terpilih dijadikan sampel.
• Contoh 2: Sebuah perusahaan ingin menguji kualitas pelayanan cabang. Dari 100 cabang, 10 cabang dipilih secara acak, dan semua karyawan di cabang tersebut diminta mengisi survei kepuasan kerja.

3. Distribusi Sampling Rata-Rata Sampel

• Distribusi Sampling: Distribusi probabilitas dari semua kemungkinan nilai rata-rata sampel untuk ukuran sampel tertentu.
• Karakteristik:
  1. Rata-rata distribusi sampling sama dengan rata-rata populasi $(\mu_{\overline{X}}=\mu.)$
  2. Penyebaran distribusi sampling lebih sempit dibanding populasi.
  3. Bentuk distribusi sampling mendekati normal ketika ukuran sampel besar (Teorema Limit Pusat).

Contoh Soal Rata-rata Sampel

Sebuah populasi terdiri dari lima nilai berikut: 2, 2, 4, 4, dan 8.

Bagian a

Daftar semua sampel berukuran 2 dan hitung rata-rata setiap sampel.

Penyelesaian:

Total sampel yang mungkin (dengan penggantian): \( C(5, 2) = 10 \). Berikut semua sampel dan rata-ratanya:

Sampel	Nilai	Rata-rata (\(\overline{X}\))
1	(2, 2)	\(\frac{2 + 2}{2} = 2\)
2	(2, 4)	\(\frac{2 + 4}{2} = 3\)
3	(2, 4)	\(\frac{2 + 4}{2} = 3\)
4	(2, 8)	\(\frac{2 + 8}{2} = 5\)
5	(2, 4)	\(\frac{2 + 4}{2} = 3\)
6	(2, 4)	\(\frac{2 + 4}{2} = 3\)
7	(2, 8)	\(\frac{2 + 8}{2} = 5\)
8	(4, 4)	\(\frac{4 + 4}{2} = 4\)
9	(4, 8)	\(\frac{4 + 8}{2} = 6\)
10	(4, 8)	\(\frac{4 + 8}{2} = 6\)

Bagian b

Hitung rata-rata distribusi rata-rata sampel dan rata-rata populasi. Bandingkan kedua nilai tersebut.

Penyelesaian:

Rata-rata populasi (\(\mu\)):

\[ \mu = \frac{2 + 2 + 4 + 4 + 8}{5} = \frac{20}{5} = 4 \]

Rata-rata distribusi sampel (\(\mu_{\overline{X}}\)):

\[ \mu_{\overline{X}} = \frac{2 + 3 + 3 + 5 + 3 + 3 + 5 + 4 + 6 + 6}{10} = \frac{40}{10} = 4 \]

Perbandingan:

\[ \mu = \mu_{\overline{X}} = 4 \]

Kedua nilai sama, sesuai dengan teori distribusi sampling bahwa \(\mu_{\overline{X}} = \mu\).

Bagian c

Bandingkan dispersi dalam populasi dengan dispersi rata-rata sampel.

Penyelesaian:

Varians populasi (\(\sigma^2\)):

\[ \sigma^2 = \frac{(2-4)^2 + (2-4)^2 + (4-4)^2 + (4-4)^2 + (8-4)^2}{5} = \frac{4 + 4 + 0 + 0 + 16}{5} = 4.8 \]

Standar deviasi populasi: \(\sigma = \sqrt{4.8} \approx 2.19\)

Varians rata-rata sampel (\(\sigma_{\overline{X}}^2\)):

\[ \sigma_{\overline{X}}^2 = \frac{(2-4)^2 + (3-4)^2 + \cdots + (6-4)^2}{10} = \frac{4 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 4 + 0 + 4 + 4}{10} = 2.0 \]

Standar error: \(\sigma_{\overline{X}} = \sqrt{2.0} \approx 1.41\)

Perbandingan:

\[ \sigma_{\overline{X}} = \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = \frac{2.19}{\sqrt{2}} \approx 1.55 \quad \text{(mendekati hasil perhitungan langsung)} \]

Dispersi rata-rata sampel (\(\sigma_{\overline{X}} \approx 1.41\)) lebih kecil daripada dispersi populasi (\(\sigma \approx 2.19\)), menunjukkan bahwa rata-rata sampel lebih stabil dibanding nilai individu dalam populasi.

Kesimpulan

• Rata-rata populasi dan rata-rata distribusi sampel sama (\(\mu = \mu_{\overline{X}} = 4\)).
• Dispersi rata-rata sampel (\(\sigma_{\overline{X}} \approx 1.41\)) lebih kecil daripada dispersi populasi (\(\sigma \approx 2.19\)), membuktikan bahwa rata-rata sampel lebih stabil.

Rumus Kunci:

\[ \mu_{\overline{X}} = \mu \quad \text{dan} \quad \sigma_{\overline{X}} = \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \]

Bab 9: Estimasi dan Interval Kepercayaan

1. Estimasi Titik

Estimasi titik adalah nilai tunggal yang digunakan untuk memperkirakan parameter populasi.

Contoh: Rata-rata pengeluaran 500 turis di Barbados: \( \bar{x} = 168 \). Maka, 168 adalah estimasi titik dari pengeluaran populasi.

2. Interval Kepercayaan

a. Jika simpangan baku populasi diketahui:

\[ \bar{x} \pm z \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \]

Contoh: \( \bar{x} = 4.507 \), \( \sigma = 0.04 \), \( n = 64 \), \( z = 1.96 \)

\[ 4.507 \pm 1.96 \cdot \frac{0.04}{\sqrt{64}} = 4.507 \pm 0.0098 \Rightarrow (4.4972, 4.5168) \]

b. Jika simpangan baku populasi tidak diketahui:

\[ \bar{x} \pm t \cdot \frac{s}{\sqrt{n}} \]

Contoh: \( \bar{x} = 0.32 \), \( s = 0.09 \), \( n = 10 \), \( t = 2.262 \)

\[ 0.32 \pm 2.262 \cdot \frac{0.09}{\sqrt{10}} = 0.32 \pm 0.064 \Rightarrow (0.256, 0.384) \]

3. Estimasi Proporsi Populasi

\[ p \pm z \cdot \sqrt{ \frac{p(1 - p)}{n} } \]

Contoh: \( p = 0.8 \), \( n = 2000 \), \( z = 1.96 \)

\[ 0.8 \pm 1.96 \cdot \sqrt{ \frac{0.8(1-0.8)}{2000} } = 0.8 \pm 0.018 \Rightarrow (0.782, 0.818) \]

4. Penentuan Ukuran Sampel

a. Untuk rata-rata:

\[ n = \left( \frac{z \cdot \sigma}{E} \right)^2 \]

b. Untuk proporsi:

\[ n = \pi(1 - \pi) \left( \frac{z}{E} \right)^2 \]

Contoh: \( \pi = 0.5 \), \( E = 0.05 \), \( z = 1.96 \)

\[ n = 0.5(1 - 0.5) \left( \frac{1.96}{0.05} \right)^2 = 384.16 \Rightarrow 385 \]

5. Koreksi Populasi Hingga

\[ \text{FPC} = \sqrt{ \frac{N - n}{N - 1} } \]

\[ \text{CI} = \bar{x} \pm t \cdot \frac{s}{\sqrt{n}} \cdot \text{FPC} \]

Contoh: \( N = 250 \), \( n = 40 \), \( \bar{x} = 450 \), \( s = 75 \), \( t = 1.685 \)

\[ \text{FPC} = \sqrt{\frac{210}{249}} \approx 0.916 \]

\[ CI = 450 \pm 1.685 \cdot \frac{75}{\sqrt{40}} \cdot 0.916 \approx 450 \pm 18.35 \Rightarrow (431.65, 468.35) \]

Rangkuman Rumus

Jenis	Rumus
CI Mean, \( \sigma \) diketahui	\( \bar{x} \pm z \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \)
CI Mean, \( \sigma \) tidak diketahui	\( \bar{x} \pm t \cdot \frac{s}{\sqrt{n}} \)
CI Proporsi	\( p \pm z \cdot \sqrt{\frac{p(1 - p)}{n}} \)
Ukuran sampel Mean	\( n = \left( \frac{z\sigma}{E} \right)^2 \)
Ukuran sampel Proporsi	\( n = \pi(1 - \pi) \left( \frac{z}{E} \right)^2 \)

Bab 10: Uji Hipotesis Satu Sampel

1. Konsep Uji Hipotesis

Hipotesis nol (H₀): pernyataan yang diuji (misalnya \( \mu = 200 \))

Hipotesis alternatif (H₁): pernyataan saingan (misalnya \( \mu \ne 200 \))

2. Enam Langkah Uji Hipotesis

1. Nyatakan \( H_0 \) dan \( H_1 \)
2. Tentukan tingkat signifikansi \( \alpha \)
3. Pilih statistik uji (z atau t)
4. Tentukan aturan keputusan (nilai kritis)
5. Hitung nilai statistik uji
6. Buat keputusan dan interpretasi hasil

3. Jenis Uji

• Satu Arah (One-Tailed): \( H_1: \mu > \mu_0 \) atau \( H_1: \mu < \mu_0 \)
• Dua Arah (Two-Tailed): \( H_1: \mu \ne \mu_0 \)

4. Statistik Uji

• Jika \( \sigma \) diketahui: \[ z = \frac{\bar{x} - \mu_0}{\sigma / \sqrt{n}} \]
• Jika \( \sigma \) tidak diketahui: \[ t = \frac{\bar{x} - \mu_0}{s / \sqrt{n}} \]

5. p-value

• p-value adalah probabilitas mendapatkan nilai statistik uji seperti yang diamati jika \( H_0 \) benar.
• Jika \( p < \alpha \): tolak \( H_0 \)
• Jika \( p \ge \alpha \): gagal menolak \( H_0 \)

6. Galat Tipe I dan II

• Tipe I (\( \alpha \)): Menolak \( H_0 \) padahal benar
• Tipe II (\( \beta \)): Gagal menolak \( H_0 \) padahal salah
• Kekuatan Uji (Power): \( 1 - \beta \)

7. Rumus Penting

Kasus	Statistik Uji	Rumus
\( \sigma \) diketahui	z	\( z = \frac{\bar{x} - \mu_0}{\sigma / \sqrt{n}} \)
\( \sigma \) tidak diketahui	t	\( t = \frac{\bar{x} - \mu_0}{s / \sqrt{n}} \)
Estimasi \( \beta \)	z	\( z = \frac{x_c - \mu_1}{\sigma / \sqrt{n}} \)

Bab 11: Uji Hipotesis Dua Sampel

1. Dua Sampel Independen (Standar Deviasi Populasi Diketahui)

\[ z = \frac{\bar{x}_1 - \bar{x}_2}{\sqrt{\frac{\sigma_1^2}{n_1} + \frac{\sigma_2^2}{n_2}}} \]

• Populasi normal
• Sampel independen
• Standar deviasi populasi diketahui

2. Dua Sampel Independen (Standar Deviasi Tidak Diketahui, Varians Sama)

Gunakan pooled variance:

\[ s_p^2 = \frac{(n_1 - 1)s_1^2 + (n_2 - 1)s_2^2}{n_1 + n_2 - 2} \]

Rumus statistik uji:

\[ t = \frac{\bar{x}_1 - \bar{x}_2}{\sqrt{s_p^2 \left( \frac{1}{n_1} + \frac{1}{n_2} \right)}} \]

Derajat bebas:

\[ df = n_1 + n_2 - 2 \]

3. Dua Sampel Independen (Varians Tidak Sama / Welch's t-test)

Rumus statistik uji:

\[ t = \frac{\bar{x}_1 - \bar{x}_2}{\sqrt{\frac{s_1^2}{n_1} + \frac{s_2^2}{n_2}}} \]

Derajat bebas menggunakan rumus Welch-Satterthwaite:

\[ df = \frac{\left( \frac{s_1^2}{n_1} + \frac{s_2^2}{n_2} \right)^2}{\frac{\left( \frac{s_1^2}{n_1} \right)^2}{n_1 - 1} + \frac{\left( \frac{s_2^2}{n_2} \right)^2}{n_2 - 1}} \]

4. Sampel Berpasangan (Dependent Samples)

Statistik uji:

\[ t = \frac{\bar{d}}{s_d / \sqrt{n}} \]

• \( \bar{d} \): rata-rata selisih
• \( s_d \): standar deviasi selisih
• \( n \): jumlah pasangan

5. Perbandingan Sampel Independen vs Dependen

Independent Samples	Dependent Samples
Subjek berbeda antar sampel	Subjek sama antar pengukuran
Variasi lebih besar	Variasi lebih kecil
Derajat bebas lebih besar	Derajat bebas lebih kecil
Tidak menghitung selisih	Menghitung selisih antar pasangan

Ketentuan UAS PWS2A

1. UAS PWS2A hanya boleh dikerjakan selama 1,5 jam (sudah termasuk mengunggah jawaban berbentuk pdf).
2. Soal UAS PWS2A boleh dikerjakan dari 10:20-11:20 dan selanjutnya klik Kirim Jawaban untuk mengunggah jawaban di google form.
3. Setiap mahasiswa akan menerima soal masing-masing sesuai dengan NIM.

Mulai UAS PWS2A Kirim Jawaban PWS2A

Ketentuan UAS MBS2D

1. UAS MBS2D hanya boleh dikerjakan selama 1,5 jam (sudah termasuk mengunggah jawaban berbentuk pdf).
2. Soal UAS MBS2D boleh dikerjakan dari 13:00-14:00 dan selanjutnya klik Kirim Jawaban untuk mengunggah jawaban di google form.
3. Setiap mahasiswa akan menerima soal masing-masing sesuai dengan NIM.

Mulai UAS MBS2D Kirim Jawaban MBS2D

Ketentuan UAS MBS2E

1. UAS MBS2E hanya boleh dikerjakan selama 1,5 jam (sudah termasuk mengunggah jawaban berbentuk pdf).
2. Soal UAS MBS2E boleh dikerjakan dari 14:40-15:40 dan selanjutnya klik Kirim Jawaban untuk mengunggah jawaban di google form.
3. Setiap mahasiswa akan menerima soal masing-masing sesuai dengan NIM.

Mulai UAS MBS2E Kirim Jawaban MBS2E

Daftar Nilai PWS2A

Daftar Nilai MBS2D

Daftar Nilai MBS2E