Terakhir diubah pada

RPS

Distribusi Sampling

Distribusi Sampling adalah distribusi probabilitas dari statistik sampel yang dihitung dari banyak sampel yang diambil dari suatu populasi.

Konsep ini sangat penting dalam inferensi statistik, karena memungkinkan kita untuk memperkirakan karakteristik populasi berdasarkan sampel.

Distribusi Sampling dari Mean

Distribusi sampling dari mean adalah distribusi probabilitas dari rata-rata sampel yang diambil dari suatu populasi.

Teorema Limit Pusat menyatakan bahwa jika ukuran sampel cukup besar, distribusi sampling dari mean akan mendekati distribusi normal, terlepas dari bentuk distribusi populasi asli.

Rumus Mean dan Standar Deviasi dari distribusi sampling:

\[ \mu_{\bar{x}} = \mu \] \[ \sigma_{\bar{x}} = \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \]

di mana:

• \(\mu\) adalah mean populasi
• \(\sigma\) adalah standar deviasi populasi
• \(n\) adalah ukuran sampel

Distribusi Sampling dari Proporsi

Distribusi sampling juga berlaku untuk proporsi, terutama dalam kasus data biner (misalnya, sukses/gagal).

Jika \( p \) adalah proporsi populasi dan \( \hat{p} \) adalah proporsi sampel, maka:

\[ \mu_{\hat{p}} = p \] \[ \sigma_{\hat{p}} = \sqrt{\frac{p(1 - p)}{n}} \]

Distribusi sampling dari proporsi akan mendekati distribusi normal jika memenuhi aturan normalitas:

\[ np \geq 5 \quad \text{dan} \quad n(1-p) \geq 5 \]

Distribusi Sampling dari Selisih Dua Mean

Ketika membandingkan dua sampel independen, distribusi sampling dari selisih dua mean mengikuti aturan:

Mean dari distribusi:

\[ \mu_{\bar{x}_1 - \bar{x}_2} = \mu_1 - \mu_2 \]

Standar deviasi dari distribusi:

\[ \sigma_{\bar{x}_1 - \bar{x}_2} = \sqrt{\frac{\sigma_1^2}{n_1} + \frac{\sigma_2^2}{n_2}} \]

Jika ukuran sampel cukup besar, distribusi ini dapat didekati dengan distribusi normal.

Inferensi Statistik dengan Distribusi Sampling

Distribusi sampling memungkinkan kita untuk:

1. Menentukan estimasi parameter populasi (seperti mean atau proporsi).
2. Menghitung probabilitas dari suatu sampel berdasarkan distribusi normal.
3. Melakukan uji hipotesis dan interval kepercayaan untuk menentukan signifikansi hasil sampel.

Inferensi statistik bergantung pada asumsi bahwa distribusi sampling cukup normal untuk digunakan dalam perhitungan statistik.

Bab 10: Pengenalan Estimasi

10-1: Konsep Estimasi

Estimasi digunakan untuk menentukan nilai parameter populasi berdasarkan statistik sampel.

Dua jenis estimasi:

• Estimasi titik (Point Estimator): Menggunakan satu nilai untuk memperkirakan parameter populasi.
• Estimasi interval (Interval Estimator): Memberikan rentang nilai dengan tingkat kepercayaan tertentu.

Karakteristik estimator yang baik:

• Unbiased: Rata-rata estimator mendekati nilai parameter populasi.
• Consistent: Estimator semakin akurat saat ukuran sampel meningkat.
• Efficient: Estimator dengan variansi lebih kecil lebih diinginkan.

10-2: Estimasi Mean Populasi Ketika Standar Deviasi Populasi Diketahui

Jika populasi memiliki distribusi normal dan standar deviasi (\(\sigma\)) diketahui, maka interval kepercayaan untuk rata-rata populasi (\(\mu\)) adalah:

\[ \bar{x} \pm Z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \]

• \(\bar{x}\) = rata-rata sampel
• \(Z_{\alpha/2}\) = nilai kritis dari distribusi normal standar
• \(\sigma\) = standar deviasi populasi
• \(n\) = ukuran sampel

Interpretasi Interval Kepercayaan:

• Bukan probabilitas bahwa parameter populasi ada dalam rentang tersebut.
• Dalam banyak sampel, persentase tertentu dari interval akan mencakup parameter populasi.

10-3: Menentukan Ukuran Sampel

Untuk mendapatkan interval kepercayaan dengan batas kesalahan tertentu (\(B\)), ukuran sampel (\(n\)) harus memenuhi:

\[ n = \left( \frac{Z_{\alpha/2} \cdot \sigma}{B} \right)^2 \]

• Menambah ukuran sampel mempersempit interval kepercayaan.
• Jika \(\sigma\) tidak diketahui, biasanya digunakan estimasi dari sampel sebelumnya.

Contoh Aplikasi

1. Estimasi Diameter Pohon

Sebuah perusahaan kayu ingin memperkirakan rata-rata diameter pohon dengan interval kepercayaan 90%. Diperlukan 98 sampel pohon untuk mendapatkan estimasi dengan batas kesalahan ±1 inci.

2. Estimasi Permintaan Stok Barang

Seorang manajer ingin memperkirakan permintaan barang selama periode tertentu. Dengan metode estimasi interval kepercayaan, ia dapat menentukan jumlah stok yang optimal.

Kesimpulan

• Estimasi adalah alat penting dalam inferensi statistik.
• Interval kepercayaan lebih akurat dibanding estimasi titik karena mempertimbangkan variabilitas sampel.
• Ukuran sampel yang tepat meningkatkan akurasi estimasi tanpa membuang sumber daya.

Bab 11: Pengantar Pengujian Hipotesis

11.1 Konsep Pengujian Hipotesis

Pengujian hipotesis adalah metode statistik yang digunakan untuk membuat keputusan tentang parameter populasi berdasarkan data sampel. Komponen utama dalam pengujian hipotesis meliputi:

• Hipotesis Nol (\(H_0\)): Pernyataan bahwa tidak ada perbedaan atau efek dalam populasi.
• Hipotesis Alternatif (\(H_1\)): Pernyataan yang bertentangan dengan \(H_0\), menunjukkan adanya perbedaan atau efek.
• Statistik Uji: Nilai yang dihitung dari data sampel untuk menentukan apakah \(H_0\) dapat ditolak.
• P-value: Probabilitas mendapatkan hasil yang diamati jika \(H_0\) benar.
• Tingkat Signifikansi (\(\alpha\)): Batas probabilitas (biasanya 0.05) untuk menolak \(H_0\).

11.2 Pengujian Mean Populasi Ketika Standar Deviasi Populasi Diketahui

Jika standar deviasi populasi (\(\sigma\)) diketahui, maka statistik uji untuk rata-rata sampel (\(\bar{x}\)) dapat dihitung dengan:

\[ Z = \frac{\bar{x} - \mu_0}{\frac{\sigma}{\sqrt{n}}} \]

di mana:

• \(\mu_0\) = rata-rata populasi yang dihipotesiskan
• \(\sigma\) = standar deviasi populasi
• \(n\) = ukuran sampel

11.3 Menghitung Probabilitas Kesalahan Tipe II

Kesalahan Tipe II (\(\beta\)) terjadi ketika kita gagal menolak \(H_0\) padahal \(H_a\) benar. Daya uji statistik dihitung sebagai:

\[ \text{Daya Uji} = 1 - \beta \]

Nilai \(\beta\) bergantung pada nilai rata-rata populasi sebenarnya dan distribusi statistik uji.

11.4 Kesimpulan

Memahami konsep pengujian hipotesis sangat penting dalam analisis data dan inferensi statistik. Teknik ini digunakan dalam berbagai metode lanjutan seperti interval kepercayaan, regresi, dan ANOVA.

Bab 12: Inferensi tentang Populasi

Bab ini membahas teknik inferensial statistik untuk mendeskripsikan parameter populasi berdasarkan data sampel.

12-1. Inferensi terhadap Rata-rata Populasi saat Simpangan Baku Tidak Diketahui

Gunakan distribusi t ketika simpangan baku populasi tidak diketahui.

Statistik uji:

\[ t = \frac{\bar{x} - \mu}{s / \sqrt{n}}, \quad \text{df} = n - 1 \]

Interval kepercayaan:

\[ \bar{x} \pm t_{\alpha/2} \cdot \frac{s}{\sqrt{n}} \]

Contoh: Rata-rata waktu tidur 12 mahasiswa adalah 6.75 jam per malam, dengan simpangan baku sampel 0.945 jam. Hitung interval kepercayaan 95% untuk rata-rata jumlah tidur seluruh mahasiswa.

Jawaban:

\[ \text{CI} = 6.75 \pm t_{0.025, 11} \cdot \frac{0.945}{\sqrt{12}} \approx 6.75 \pm 0.535 \]

Jadi, interval kepercayaan: (6.215, 7.285)

---

12-2. Inferensi terhadap Variansi Populasi

Menggunakan distribusi chi-kuadrat.

Statistik uji:

\[ \chi^2 = \frac{(n - 1)s^2}{\sigma^2} \]

Interval kepercayaan untuk variansi:

\[ \left( \frac{(n - 1)s^2}{\chi^2_{\alpha/2}}, \frac{(n - 1)s^2}{\chi^2_{1 - \alpha/2}} \right) \]

Contoh: Sebuah mesin menghasilkan bagian dengan simpangan baku sampel 0.0198 dari 15 bagian. Hitung interval kepercayaan 95% untuk simpangan baku populasi.

Jawaban:

\[ \text{CI variansi} = \left( \frac{14 \cdot 0.0198^2}{\chi^2_{0.025}}, \frac{14 \cdot 0.0198^2}{\chi^2_{0.975}} \right) \]

CI simpangan baku diperoleh dari akar variansinya.

---

12-3. Inferensi terhadap Proporsi Populasi

Statistik uji:

\[ z = \frac{\hat{p} - p}{\sqrt{p(1 - p)/n}} \]

Interval kepercayaan:

\[ \hat{p} \pm z_{\alpha/2} \cdot \sqrt{\frac{\hat{p}(1 - \hat{p})}{n}} \]

Contoh: Dalam survei terhadap 1000 pelanggan, 380 menyatakan puas terhadap layanan. Hitung interval kepercayaan 95% terhadap proporsi pelanggan yang puas.

Jawaban:

\[ \hat{p} = \frac{380}{1000} = 0.38,\quad SE = \sqrt{\frac{0.38(0.62)}{1000}} \approx 0.0153 \] \[ \text{CI} = 0.38 \pm 1.96 \cdot 0.0153 \approx (0.350, 0.410) \]

Ukuran sampel untuk proporsi:

\[ n = \left( \frac{z_{\alpha/2} \cdot \sqrt{\hat{p}(1 - \hat{p})}}{B} \right)^2 \]

Contoh: Untuk estimasi proporsi dengan margin kesalahan 3% dan \( \hat{p} = 0.5 \), hitung ukuran sampel untuk tingkat kepercayaan 95%.

\[ n = \left( \frac{1.96 \cdot \sqrt{0.5 \cdot 0.5}}{0.03} \right)^2 \approx 1067 \]

---

12-4. Aplikasi Pemasaran: Segmentasi Pasar

Jika hasil survei menunjukkan bahwa 18 dari 100 orang dalam sampel menunjukkan minat terhadap suatu produk, dan total populasi target adalah 10.000, maka estimasi ukuran segmen pasar adalah:

\[ 10.000 \cdot \left( \frac{18}{100} \right) = 1800 \]

Uji Statistik untuk Perbandingan Dua Populasi

1. Uji Z untuk Selisih Dua Rata-rata (σ diketahui)

Rumus:

\[ z = \frac{(\bar{x}_1 - \bar{x}_2) - D_0}{\sqrt{\frac{\sigma_1^2}{n_1} + \frac{\sigma_2^2}{n_2}}} \]

Contoh: Rata-rata penghasilan lulusan jurusan A adalah Rp7.000.000 (\( \sigma_1 = 1.000.000 \), \( n_1 = 36 \)) dan jurusan B Rp6.500.000 (\( \sigma_2 = 1.200.000 \), \( n_2 = 49 \)). Uji apakah ada perbedaan signifikan pada \( \alpha = 0{,}05 \).

Jawaban:

\[ z = \frac{(7.000.000 - 6.500.000)}{\sqrt{\frac{1.000.000^2}{36} + \frac{1.200.000^2}{49}}} \approx 2{,}0912 \] \[ p\text{-value} = 0{,}0365 \Rightarrow \text{Signifikan} \]

---

2. Uji t Dua Sampel (σ tidak diketahui, varians sama)

Rumus:

\[ t = \frac{(\bar{x}_1 - \bar{x}_2)}{s_p \cdot \sqrt{\frac{1}{n_1} + \frac{1}{n_2}}} \] \[ s_p^2 = \frac{(n_1 - 1)s_1^2 + (n_2 - 1)s_2^2}{n_1 + n_2 - 2} \]

Contoh: Mesin A: \( \bar{x}_1 = 210, s_1 = 15, n_1 = 10 \) Mesin B: \( \bar{x}_2 = 200, s_2 = 20, n_2 = 12 \)

Jawaban:

\[ s_p = 17{,}707, \quad t = 1{,}303, \quad p\text{-value} = 0{,}2074 \Rightarrow \text{Tidak signifikan} \]

---

3. Uji t Welch (varians tidak sama)

Rumus:

\[ t = \frac{(\bar{x}_1 - \bar{x}_2)}{\sqrt{\frac{s_1^2}{n_1} + \frac{s_2^2}{n_2}}} \]

Contoh: Kelompok 1: \( \bar{x}_1 = 4{,}5, s_1 = 1{,}2, n_1 = 15 \) Kelompok 2: \( \bar{x}_2 = 3{,}8, s_2 = 2{,}0, n_2 = 10 \)

Jawaban:

\[ t = 0{,}9939, \quad df \approx 13{,}34, \quad p = 0{,}3379 \Rightarrow \text{Tidak signifikan} \]

---

4. Uji Z untuk Selisih Dua Proporsi

Rumus:

\[ z = \frac{\hat{p}_1 - \hat{p}_2}{\sqrt{p(1 - p)\left(\frac{1}{n_1} + \frac{1}{n_2}\right)}}, \quad p = \frac{x_1 + x_2}{n_1 + n_2} \]

Contoh: Pria: 150 dari 200 menyukai produk baru → \( \hat{p}_1 = 0{,}75 \) Wanita: 126 dari 180 → \( \hat{p}_2 = 0{,}70 \)

Jawaban:

\[ z = 1{,}0915, \quad p\text{-value} = 0{,}275 \Rightarrow \text{Tidak signifikan} \]

---

5. Interval Kepercayaan Selisih Proporsi (95%)

Rumus:

\[ (\hat{p}_1 - \hat{p}_2) \pm z_{\alpha/2} \cdot \sqrt{\frac{\hat{p}_1(1 - \hat{p}_1)}{n_1} + \frac{\hat{p}_2(1 - \hat{p}_2)}{n_2}} \]

Jawaban:

\[ \text{CI} = (-0{,}0399,\ 0{,}1399) \Rightarrow \text{Tidak signifikan karena mencakup nol} \]

---

6. Uji F untuk Perbandingan Dua Varians

Rumus:

\[ F = \frac{s_1^2}{s_2^2} \]

Contoh: Sektor Swasta: \( s_1^2 = 16, n_1 = 25 \) Pemerintah: \( s_2^2 = 9, n_2 = 20 \)

Jawaban:

\[ F = \frac{16}{9} = 1{,}7778, \quad p\text{-value} \approx 0{,}1575 \Rightarrow \text{Tidak signifikan} \]

7. Uji T untuk Data Berpasangan

Rumus:

\[ t = \frac{\overline{x}_D-\mu_D}{s_D/\sqrt{n_D}} \]

Contoh:

Banyak orang menggunakan pemindai (scanner) untuk membaca dokumen dan menyimpannya dalam file Word (atau perangkat lunak lainnya). Untuk menentukan merek scanner mana yang lebih baik untuk dibeli, seorang mahasiswa melakukan eksperimen dengan memindai 8 dokumen menggunakan masing-masing dari dua scanner yang ingin dibandingkannya.

Ia mencatat jumlah kesalahan (errors) yang terjadi untuk masing-masing scanner. Data dicatat sebagai berikut:

Dokumen	1	2	3	4	5	6	7	8
Brand A	17	29	18	14	21	25	22	29
Brand B	21	38	15	19	22	30	31	37

• Apakah dapat disimpulkan bahwa Brand A (scanner yang lebih mahal) lebih baik daripada Brand B, dengan data ini?

Hipotesis:

\[ H_0: \mu_d = 0 \quad \text{(tidak ada perbedaan kesalahan)} \] \[ H_1: \mu_d < 0 \quad \text{(Brand A memiliki lebih sedikit kesalahan daripada Brand B)} \]

Langkah Penyelesaian:

1. Hitung selisih tiap pasangan: \( d_i = \text{Brand A} - \text{Brand B} \)
2. Hitung rata-rata selisih \( \bar{d} \) dan simpangan baku \( s_d \)
3. Hitung nilai statistik uji:

\[ t = \frac{\bar{d}}{s_d/\sqrt{n}} \]

4. Bandingkan nilai \( t \) dengan nilai kritis \( t \)-distribusi pada \( \alpha = 0.05 \) untuk uji satu arah (left-tailed test).

5. Interval Kepercayaan Selisih Proporsi (95%)

Rumus:

\[ (\hat{p}_1 - \hat{p}_2) \pm z_{\alpha/2} \cdot \sqrt{\frac{\hat{p}_1(1 - \hat{p}_1)}{n_1} + \frac{\hat{p}_2(1 - \hat{p}_2)}{n_2}} \]

Jawaban:

\[ \text{CI} = (-0{,}0399,\ 0{,}1399) \Rightarrow \text{Tidak signifikan karena mencakup nol} \]

---

6. Uji F untuk Perbandingan Dua Varians

Rumus:

\[ F = \frac{s_1^2}{s_2^2} \]

Contoh: Sektor Swasta: \( s_1^2 = 16, n_1 = 25 \) Pemerintah: \( s_2^2 = 9, n_2 = 20 \)

Jawaban:

\[ F = \frac{16}{9} = 1{,}7778, \quad p\text{-value} \approx 0{,}1575 \Rightarrow \text{Tidak signifikan} \]

7. Uji T untuk Data Berpasangan

Rumus:

\[ t = \frac{\overline{x}_D-\mu_D}{s_D/\sqrt{n_D}} \]

Contoh:

Banyak orang menggunakan pemindai (scanner) untuk membaca dokumen dan menyimpannya dalam file Word (atau perangkat lunak lainnya). Untuk menentukan merek scanner mana yang lebih baik untuk dibeli, seorang mahasiswa melakukan eksperimen dengan memindai 8 dokumen menggunakan masing-masing dari dua scanner yang ingin dibandingkannya.

Ia mencatat jumlah kesalahan (errors) yang terjadi untuk masing-masing scanner. Data dicatat sebagai berikut:

Dokumen	1	2	3	4	5	6	7	8
Brand A	17	29	18	14	21	25	22	29
Brand B	21	38	15	19	22	30	31	37

• Apakah dapat disimpulkan bahwa Brand A (scanner yang lebih mahal) lebih baik daripada Brand B, dengan data ini?

Hipotesis:

\[ H_0: \mu_d = 0 \quad \text{(tidak ada perbedaan kesalahan)} \] \[ H_1: \mu_d < 0 \quad \text{(Brand A memiliki lebih sedikit kesalahan daripada Brand B)} \]

Langkah Penyelesaian:

1. Hitung selisih tiap pasangan: \( d_i = \text{Brand A} - \text{Brand B} \)
2. Hitung rata-rata selisih \( \bar{d} \) dan simpangan baku \( s_d \)
3. Hitung nilai statistik uji:

\[ t = \frac{\bar{d}}{s_d/\sqrt{n}} \]

4. Bandingkan nilai \( t \) dengan nilai kritis \( t \)-distribusi pada \( \alpha = 0.05 \) untuk uji satu arah (left-tailed test).

Ketentuan UTS ES4D

1. Setiap mahasiswa akan menerima soal masing-masing sesuai dengan NIM.

Mulai UTS ES4D

Ketentuan UTS ES4E

1. Setiap mahasiswa akan menerima soal masing-masing sesuai dengan NIM.

Mulai UTS ES4E

Bab 14: Analisis Varians (ANOVA) dan Perbandingan Berganda

14.1 One-Way Analysis of Variance

Digunakan untuk menguji apakah terdapat perbedaan yang signifikan antara dua atau lebih rata-rata populasi.

Hipotesis:

\[ H_0 : \mu_1 = \mu_2 = \cdots = \mu_k \quad\text{vs}\quad H_1 : \text{paling tidak ada dua rata-rata berbeda} \]

Statistik uji F:

\[ F = \frac{MST}{MSE} \quad\text{dengan}\quad MST = \frac{SST}{k - 1},\quad MSE = \frac{SSE}{n - k} \]

• SST: jumlah kuadrat antar grup
• SSE: jumlah kuadrat dalam grup
• Data harus dari distribusi normal dengan varians yang sama

---

14.2 Multiple Comparisons

Jika uji F signifikan, kita lanjut untuk melihat pasangan mana yang berbeda. Metode umum:

• Fisher’s LSD: sensitif, gunakan jika jumlah perbandingan sedikit
• Bonferroni: sesuaikan \( \alpha \to \frac{\alpha}{C} \) untuk C perbandingan
• Tukey’s HSD: berbasis Studentized Range, cocok untuk semua perbandingan

---

14.3 Desain Eksperimen

• One-Way ANOVA: satu faktor (misal, usia)
• Randomized Block (Two-Way): dua faktor (misal, usia dan gender)
• Fixed Effects: semua level diamati
• Random Effects: level merupakan sampel dari populasi

---

Contoh: Pengaruh Metode Belajar terhadap Skor Ujian

Seorang guru ingin mengetahui apakah metode belajar yang berbeda mempengaruhi hasil ujian siswa. Ia membagi siswa ke dalam tiga kelompok:

1. Kelompok A: membaca mandiri
2. Kelompok B: video pembelajaran
3. Kelompok C: diskusi kelompok

Hipotesis:

\[ H_0: \mu_A = \mu_B = \mu_C \quad\text{vs}\quad H_1: \text{paling tidak ada dua rata-rata berbeda} \]

Langkah Perhitungan ANOVA Satu Arah

Data:

Total data $n= 18,$ jumlah grup $k= 3,$ dan \( n_i = 6 \)

---

Langkah 1: Hitung rata-rata tiap grup dan total

\[ \bar{X}_A = \frac{70 + 72 + 68 + 71 + 69 + 73}{6} = \frac{423}{6} = 70.5 \] \[ \bar{X}_B = \frac{78 + 74 + 75 + 77 + 76 + 80}{6} =\frac{460}{6} =76.7 \] \[ \bar{X}_C = \frac{82 + 88 + 85 + 87 + 90 + 86}{6} = \frac{518}{6}=86.3 \] \[ \bar{X}_T = \frac{\text{total seluruh data}}{18} = \frac{1401}{18} = 77.83 \]

---

Langkah 2: Hitung Total Sum of Squares (Total SS)

\[ Total SS = \sum (X_{ij} - \bar{X}_T)^2 \] (Menggunakan semua 18 nilai → selisih tiap nilai dari \(\bar{X}_T\), lalu dikuadratkan dan dijumlahkan) \[ Total SS \approx 842.5 \]

---

Langkah 3: Hitung Sum of Squares Treatment (SST)

\[ SST = \sum n_i(\bar{X}_i - \bar{X}_T)^2 \] \[ = 6(70.5 - 77.83)^2 + 6(76.7 - 77.83)^2 + 6(86.3 - 77.83)^2 \] \[ = 6 \cdot (53.78 + 1.36 + 72.25) \approx 764.3 \]

---

Langkah 4: Hitung Sum of Squares Error (SSE)

\[ SSE = Total SS - SST = 842.5 - 764.3 = 78.17 \]

---

Langkah 5: Hitung Mean Squares dan F-Statistik

• df_antara = \( k - 1 = 2 \)
• df_dalam = \( n - k = 15 \)

\[ MST = \frac{SST}{2} = \frac{764.3}{2} = 382.15 \] \[ MSE = \frac{SSE}{15} = \frac{78.17}{15} \approx 5.21 \] \[ F = \frac{MST}{MSE} = \frac{382.15}{5.21} \approx 73.35 \]

---

Langkah 6: Keputusan

• Nilai $F = 73.35$ sangat besar
• Nilai batas kritis $F_{(0.025)(2)(15)}=4.77$

Kesimpulan: Tolak \( H_0 \). Terdapat perbedaan signifikan rata-rata skor ujian antar metode belajar.

Penjelasan Multiple Comparisons Setelah ANOVA

Setelah kita menemukan hasil ANOVA signifikan (artinya terdapat perbedaan rata-rata antar grup), langkah berikutnya adalah mencari tahu: pasangan rata-rata mana yang berbeda secara signifikan.

Untuk menjawab ini, digunakan uji perbandingan berganda (multiple comparisons). Tiga metode yang umum digunakan adalah:

---

1. Fisher’s LSD (Least Significant Difference)

Rumus: \[ \text{LSD} = t_{\alpha/2} \cdot \sqrt{2 \cdot \frac{MSE}{n_i}} \]

• Sangat sederhana dan mudah dihitung.
• Seperti uji t dua sampel, tetapi hanya dilakukan jika ANOVA signifikan.
• Sensitif: mudah mendeteksi perbedaan.
• Kelemahan: Jika terlalu banyak pasangan dibandingkan, risiko kesalahan Tipe I (false positive) meningkat.

Gunakan Fisher’s LSD jika:

• Jumlah grup sedikit (misal 3 grup).
• Anda hanya ingin ilustrasi atau eksplorasi awal.

---

2. Bonferroni Adjustment

Ide utama Bonferroni adalah menyesuaikan tingkat signifikansi: \[ \alpha_{\text{baru}} = \frac{\alpha}{C} \quad \text{dengan } C = \text{jumlah perbandingan pasangan} \]

Kemudian gunakan uji t biasa dengan \( \alpha_{\text{baru}} \) tersebut untuk tiap pasangan.

• Lebih hati-hati (konservatif) daripada Fisher’s LSD.
• Risiko Type I Error sangat kecil.
• Kekurangan: Bisa terlalu ketat sehingga gagal mendeteksi perbedaan yang benar (Type II Error meningkat).

Gunakan Bonferroni jika:

• Anda hanya membandingkan beberapa pasangan penting (planned comparisons).
• Anda ingin sangat yakin terhadap hasil yang signifikan.

---

3. Tukey’s HSD (Honestly Significant Difference)

Dirancang khusus untuk membandingkan semua pasangan rata-rata dengan kontrol penuh terhadap keseluruhan tingkat kesalahan (family-wise error rate).

Rumus: \[ \text{HSD} = q_{\alpha;k,n-k} \cdot \sqrt{\frac{MSE}{n_i}} \]

• \( q \): nilai dari distribusi studentized range.
• Direkomendasikan untuk perbandingan menyeluruh.
• Kontrol error lebih baik dibanding LSD, dan tidak seketat Bonferroni.

Gunakan Tukey’s HSD jika:

• Anda ingin membandingkan semua pasangan rata-rata.
• Jumlah grup lebih dari 3.

---

Kesimpulan Praktis

Contoh Perbandingan Metode: Fisher’s LSD, Bonferroni, dan Tukey’s HSD

Situasi:

Seorang dosen ingin mengetahui apakah terdapat perbedaan skor ujian rata-rata antara tiga metode pembelajaran berbeda. Ia mengumpulkan data dari 18 siswa, 6 orang di setiap kelompok:

Total sampel: \( n = 18 \), jumlah grup: \( k = 3 \)

Langkah 1: Hitung Rata-rata

• \( \bar{X}_A = 70.5 \)
• \( \bar{X}_B = 76.7 \)
• \( \bar{X}_C = 86.3 \)

Langkah 2: MSE dari ANOVA

Dari ANOVA, didapatkan:

• \( MSE = 5.21 \)
• \( df_{error} = 15 \)

---

Perbandingan Antar Pasangan

Setiap metode akan membandingkan:

1. A vs B → \( |\bar{X}_B - \bar{X}_A| = 6.2 \)
2. A vs C → \( |\bar{X}_C - \bar{X}_A| = 15.8 \)
3. B vs C → \( |\bar{X}_C - \bar{X}_B| = 9.6 \)

---

1. Fisher’s LSD

\[ LSD = t_{0.025,15} \cdot \sqrt{2 \cdot \frac{MSE}{n}} = 2.131 \cdot \sqrt{2 \cdot \frac{5.21}{6}} \approx 2.81 \]

Keputusan:

• A vs B: 6.2 > 2.81 → Signifikan
• A vs C: 15.8 > 2.81 → Signifikan
• B vs C: 9.6 > 2.81 → Signifikan

---

2. Bonferroni

Ada 3 perbandingan, maka: \[ \alpha_{\text{baru}} = \frac{0.05}{3} \approx 0.0167 \quad \Rightarrow \quad t_{0.00835,15} \approx 2.552 \] \[ LSD_{\text{Bonf}} = 2.552 \cdot \sqrt{2 \cdot \frac{5.21}{6}} \approx 3.36 \]

Keputusan:

• A vs B: 6.2 > 3.36 → Signifikan
• A vs C: 15.8 > 3.36 → Signifikan
• B vs C: 9.6 > 3.36 → Signifikan

---

3. Tukey’s HSD

\[ HSD = q_{\alpha, k, n-k} \cdot \sqrt{\frac{MSE}{n}} \quad q_{0.05,3,15} \approx 3.674 \] \[ HSD = 3.674 \cdot \sqrt{\frac{5.21}{6}} \approx 3.42 \]

Keputusan:

• A vs B: 6.2 > 3.42 → Signifikan
• A vs C: 15.8 > 3.42 → Signifikan
• B vs C: 9.6 > 3.42 → Signifikan

---

Kesimpulan Akhir

• Ketiga metode menunjukkan hasil yang konsisten dalam kasus ini: semua pasangan berbeda secara signifikan.
• Namun, jika selisih lebih kecil, metode seperti Bonferroni atau Tukey mungkin menghasilkan keputusan berbeda.

Dengan memahami dan membandingkan ketiga metode ini, mahasiswa dapat memilih metode yang sesuai dengan tujuan analisis dan tingkat kehati-hatian terhadap error.

Rangkuman Bab 14: ANOVA Lanjutan

1. Randomized Block ANOVA (Two-Way Tanpa Interaksi)

• Model: Memasukkan dua sumber variasi — perlakuan dan blok
• Pembagian variasi:

\[ SS_{Total} = SS_{Treatment} + SS_{Block} + SS_E \] \[ F_{Treatment} = \frac{MS_{Treatment}}{MS_E}, \quad F_{Block} = \frac{MS_{Block}}{MS_E} \]

Contoh 1: Randomized Block ANOVA

Seorang peneliti ingin menguji tiga metode pelatihan (A, B, C) terhadap hasil ujian, dengan lima kelompok usia berbeda (blok). Skor ujian:

Kelompok	Metode A	Metode B	Metode C
1	75	78	72
2	80	85	79
3	78	82	74
4	85	89	81
5	83	87	80

Perhitungan:

Rata-rata total:

\[ \bar{X}_T = 80.53 \]

Jumlah Kuadrat:

• \( SS_T = 123.33 \)
• \( SS_B = 196.40 \)
• \( SS_E = 4.00 \)

Mean Square:

• \( MS_T = \frac{123.33}{2} = 61.67 \)
• \( MS_B = \frac{196.40}{4} = 49.10 \)
• \( MS_E = \frac{4.00}{8} = 0.50 \)

Nilai F:

• \( F_{Treatment} = \frac{61.67}{0.50} = 123.33 \)
• \( F_{Block} = \frac{49.10}{0.50} = 98.20 \)

Karena nilai F sangat besar, baik perlakuan maupun blok berpengaruh signifikan terhadap hasil ujian.

2. Two-Factor ANOVA Dengan Interaksi

• Model memasukkan dua faktor dan interaksi:

\[ Y_{ijk} = \mu + \alpha_i + \beta_j + (\alpha\beta)_{ij} + \varepsilon_{ijk} \] \[ SS_{Total} = SS_A + SS_B + SS_{AB} + SS_E \]

Contoh 2: Two-Way ANOVA

Peneliti ingin menganalisis efek Jenis Kelamin (A) dan Metode Belajar (B) terhadap nilai akhir. Desain 2 × 3, masing-masing sel 4 responden.

	Online	Hybrid	Offline
Laki-laki	78, 80, 82, 79	84, 83, 85, 86	75, 77, 76, 78
Perempuan	82, 81, 83, 80	88, 87, 89, 90	79, 80, 81, 82

Langkah:

1. Hitung rata-rata setiap sel 2. Hitung: \[ SS_A,\quad SS_B,\quad SS_{AB},\quad SS_E \] 3. Hitung derajat bebas dan nilai F: \[ F_A = \frac{MS_A}{MS_E},\quad F_B = \frac{MS_B}{MS_E},\quad F_{AB} = \frac{MS_{AB}}{MS_E} \] \[ df_{MSA}=a-1,\quad df_{MSB}=b-1,\quad df_{MSE}=n-(a-1)(b-1) \]

3. Aplikasi Industri: Six Sigma & Taguchi

Six Sigma merupakan pendekatan berbasis data untuk meningkatkan kualitas dengan mengurangi variasi dan cacat pada proses. Digunakan secara luas di industri manufaktur dan jasa.

Indeks Kapabilitas Proses:

\[ C_p = \frac{USL - LSL}{6\sigma}, \quad C_{pk} = \min\left(\frac{USL - \mu}{3\sigma}, \frac{\mu - LSL}{3\sigma}\right) \]

Nilai \( C_p \) atau \( C_{pk} \) lebih besar dari 1.33 dianggap baik untuk produksi massal.

Taguchi Loss Function digunakan untuk mengukur kerugian kualitas akibat penyimpangan dari target nilai (T):

\[ L(x) = k(x - T)^2 \]

Dimana \(k\) adalah konstanta biaya, \(x\) adalah nilai aktual, dan \(T\) adalah target. Fungsi ini menunjukkan bahwa semakin jauh dari target, semakin besar kerugian ekonomi — meskipun masih dalam batas spesifikasi.

ANOVA digunakan dalam eksperimen Taguchi untuk membedakan pengaruh faktor terhadap variasi output dan memilih kombinasi faktor terbaik.

Contoh 1: Indeks Kapabilitas Proses

Sebuah perusahaan memproduksi baut dengan spesifikasi panjang:

• Batas atas (USL) = 10.10 mm
• Batas bawah (LSL) = 9.90 mm

Setelah dilakukan pengukuran terhadap ratusan sampel, diperoleh:

• Rata-rata (\( \mu \)) = 10.01 mm
• Simpangan baku (\( \sigma \)) = 0.03 mm

Hitung indeks kapabilitas proses \( C_p \) dan \( C_{pk} \)

Penyelesaian:

\[ C_p = \frac{USL - LSL}{6\sigma} = \frac{10.10 - 9.90}{6 \cdot 0.03} = \frac{0.20}{0.18} \approx 1.11 \] \[ C_{pk} = \min\left( \frac{USL - \mu}{3\sigma}, \frac{\mu - LSL}{3\sigma} \right) = \min\left( \frac{10.10 - 10.01}{0.09}, \frac{10.01 - 9.90}{0.09} \right) \] \[ C_{pk} = \min(1.0, 1.22) = 1.00 \]

Interpretasi: Proses ini cukup baik, tetapi belum ideal. Umumnya standar industri mensyaratkan \( C_{pk} > 1.33 \) untuk kapabilitas tinggi.

---

Contoh 2: Taguchi Loss Function

Sebuah resistor memiliki target nilai \( T = 100 \Omega \), dan biaya kerugian ditetapkan sebesar \$5 ketika deviasi sebesar 5 ohm terjadi.

Konstanta kerugian:

\[ k = \frac{5}{(5)^2} = \frac{5}{25} = 0.2 \]

Jika ditemukan resistor dengan nilai aktual \( x = 103 \Omega \), hitung nilai kerugian:

\[ L(x) = k(x - T)^2 = 0.2 \cdot (103 - 100)^2 = 0.2 \cdot 9 = 1.8 \]

Interpretasi: Meski resistor masih dalam batas toleransi, penyimpangan 3 ohm menghasilkan kerugian ekonomis sebesar \$1.80 per unit menurut fungsi Taguchi.

Kesimpulan

• ANOVA dua arah mengungkap pengaruh faktor tunggal dan interaksi.
• Metode blok dapat mengurangi galat eksperimental.
• Six Sigma dan Taguchi menggunakan ANOVA untuk pengambilan keputusan kualitas dan efisiensi biaya.

Bab 15: Uji Chi-Squared

1. Chi-Squared Goodness-of-Fit Test

• Digunakan untuk menguji apakah distribusi data nominal sesuai dengan distribusi yang diharapkan.
• Contoh: preferensi merek, jenis kendaraan, dsb.

Statistik uji: \[ \chi^2 = \sum_{i=1}^{k} \frac{(f_i - e_i)^2}{e_i} \]

• \( f_i \): frekuensi observasi
• \( e_i = np_i \): frekuensi yang diharapkan

Derajat bebas: \( df = k - 1 \)

Contoh 1:

Suatu perusahaan ingin mengetahui apakah distribusi pasar telah berubah dari:

• Produk A: 45%
• Produk B: 40%
• Produk lain: 15%

Dari 200 responden, diperoleh:

• A: 102, B: 82, Lain: 16

\[ e_1 = 200 \times 0.45 = 90, \quad e_2 = 200 \times 0.40 = 80, \quad e_3 = 200 \times 0.15 = 30 \] \[ \chi^2 = \frac{(102 - 90)^2}{90} + \frac{(82 - 80)^2}{80} + \frac{(16 - 30)^2}{30} = 1.60 + 0.05 + 6.53 = 8.18 \] \[ \chi^2_{0.05, df=2} = 5.99 \Rightarrow \text{Tolak } H_0 \] ---

2. Chi-Squared Test of a Contingency Table

• Digunakan untuk mengetahui apakah dua variabel nominal saling berkaitan (independen vs. dependen).

Statistik uji: \[ \chi^2 = \sum_{i} \sum_{j} \frac{(f_{ij} - e_{ij})^2}{e_{ij}}, \quad \text{di mana } e_{ij} = \frac{(\text{baris total}) \cdot (\text{kolom total})}{n} \] Derajat bebas: \( df = (r - 1)(c - 1) \)

Contoh 2:

Hubungan antara gelar sarjana dan jurusan MBA:

	Accounting	Finance	Marketing
BA	31	13	16
BEng	8	16	7
BBA	12	10	17
Other	10	5	7

Hitung nilai harapan (contoh):
\[ e_{11} = \frac{60 \cdot 61}{152} = 24.08 \] \[ \chi^2 = \sum \frac{(O - E)^2}{E} = 14.70 \quad \text{dengan } df = (4 - 1)(3 - 1) = 6 \] \[ \chi^2_{0.05, 6} = 12.59 \Rightarrow \text{Tolak } H_0 \] ---

3. Chi-Squared Test for Normality

Digunakan untuk menguji apakah suatu data kuantitatif mengikuti distribusi normal.

Langkah:

1. Kelompokkan data ke dalam kelas-kelas
2. Hitung probabilitas setiap kelas dari distribusi normal teoritis
3. Hitung frekuensi harapan \( e_i = n \cdot p_i \)
4. Gunakan uji \(\chi^2\) dengan \( df = k - 1 - \text{jumlah parameter estimasi} \)

---

4. Ringkasan Teknik untuk Data Nominal

Tujuan	Jumlah Kategori	Teknik
Menggambarkan populasi	2	z-test of p atau chi-square
Menggambarkan populasi	> 2	Chi-squared Goodness-of-Fit
Bandingkan 2 populasi	2	z-test p1-p2 atau chi-square table
Bandingkan ≥2 populasi	2 atau lebih	Chi-square table
Hubungan dua variabel	2 atau lebih	Chi-square table

Bab 16: Regresi Linear Sederhana dan Korelasi

Model Regresi Linear Sederhana

Model populasi:

\[ Y = \beta_0 + \beta_1 X + \varepsilon \]

• \( Y \): variabel respon
• \( X \): variabel prediktor
• \( \beta_0 \): intercept
• \( \beta_1 \): slope
• \( \varepsilon \): error acak

---

Estimasi Parameter (Least Squares)

Persamaan estimasi model:

\[ \hat{Y} = b_0 + b_1 X \]

Perhitungan slope dan intercept:

\[ b_1 = \frac{s_{xy}}{s_x^2}, \quad b_0 = \bar{Y} - b_1 \bar{X} \]

Dimana:

\[ s_{xy} = \frac{\sum (X_i - \bar{X})(Y_i - \bar{Y})}{n-1} \]

Jumlah kuadrat error (SSE):

\[ SSE = \sum (Y_i - \hat{Y}_i)^2 \] ---

Asumsi Model Regresi

• Error menyebar normal: \( \varepsilon \sim N(0, \sigma^2) \)
• Error bersifat independen
• Homoskedastisitas: variansi error konstan

---

Pengujian Model Regresi

Standard Error of Estimate:

\[ s_\varepsilon = \sqrt{\frac{SSE}{n-2}} \]

Pengujian Signifikansi Slope:

Hipotesis:

\[ H_0: \beta_1 = 0 \quad \text{vs} \quad H_1: \beta_1 \neq 0 \]

Statistik uji:

\[ t = \frac{b_1}{s_{b_1}}, \quad s_{b_1} = \frac{s_\varepsilon}{\sqrt{(n-1)s_x^2}} \] ---

Koefisien Determinasi (R-Square):

\[ R^2 = \frac{s_{xy}^2}{s_x^2 s_y^2} \]

R-square menunjukkan proporsi variasi \( Y \) yang dijelaskan oleh \( X \).

Koefisien Korelasi (r):

\[ r = \frac{s_{xy}}{s_x s_y} \]

Uji signifikansi korelasi identik dengan uji signifikansi slope.

---

Prediksi

Confidence Interval untuk Rata-rata:

\[ \hat{Y} \pm t_{\alpha/2, n-2} s_\varepsilon \sqrt{\frac{1}{n} + \frac{(X_g - \bar{X})^2}{(n-1)s_x^2}} \]

Prediction Interval untuk Nilai Individu:

\[ \hat{Y} \pm t_{\alpha/2, n-2} s_\varepsilon \sqrt{1 + \frac{1}{n} + \frac{(X_g - \bar{X})^2}{(n-1)s_x^2}} \] ---

Diagnostik Regresi

• Normalitas residual → histogram residual
• Homoskedastisitas → scatterplot residual vs prediksi
• Outlier → residual standar \( > 2 \)
• Autokorelasi → residual plot terhadap waktu
• Pengamatan berpengaruh → pengaruh kuat terhadap slope

---

Caution

• Korelasi tidak sama dengan sebab-akibat.
• Model hanya berlaku dalam rentang data pengamatan.

Bab 17: Regresi Berganda

Model Regresi Berganda

Model umum:

\[ y = \beta_0 + \beta_1 x_1 + \beta_2 x_2 + \cdots + \beta_k x_k + \varepsilon \]

• \( y \): variabel dependen
• \( x_i \): variabel independen ke-i
• \( \beta_0, \beta_1, \dots \): parameter
• \( \varepsilon \): error (galat acak)

---

Syarat Model Regresi Berganda

• Distribusi error normal: \( \varepsilon \sim N(0, \sigma^2) \)
• Rata-rata error nol: \( E(\varepsilon) = 0 \)
• Variansi error konstan (homoskedastisitas)
• Error independen antar observasi

---

Estimasi Koefisien Model

Model estimasi:

\[ \hat{y} = b_0 + b_1 x_1 + b_2 x_2 + \cdots + b_k x_k \]

Biasanya dihitung menggunakan software statistik melalui metode least squares.

---

Mengukur Kesesuaian Model

a. Standard Error of Estimate:

\[ s_\varepsilon = \sqrt{ \frac{SSE}{n - k - 1} } \]

b. Koefisien Determinasi \( R^2 \):

\[ R^2 = 1 - \frac{SSE}{\sum (y_i - \bar{y})^2} \]

Semakin tinggi \( R^2 \), semakin baik model menjelaskan variasi \( y \).

c. Adjusted \( R^2 \):

\[ R^2_{\text{adj}} = 1 - \left( \frac{SSE/(n - k - 1)}{SST/(n-1)} \right) \]

Mengoreksi pengaruh jumlah variabel independen.

d. Uji F: Validitas Keseluruhan Model

Hipotesis:

\[ H_0: \beta_1 = \beta_2 = \cdots = \beta_k = 0 \]

Statistik uji:

\[ F = \frac{MSR}{MSE} = \frac{SSR / k}{SSE / (n - k - 1)} \] ---

Uji Signifikansi Koefisien Individu (uji t)

Untuk tiap koefisien:

\[ t = \frac{b_i}{s_{b_i}} \]

Derajat bebas: \( n - k - 1 \)

---

Diagnostik Regresi Berganda

a. Normalitas residual

• Diperiksa melalui histogram residual.

b. Homoskedastisitas

• Diperiksa melalui scatterplot residual terhadap nilai prediksi.

c. Autokorelasi (Durbin-Watson test)

\[ d = \frac{ \sum_{i=2}^n (e_i - e_{i-1})^2 }{ \sum_{i=1}^n e_i^2 } \]

• Jika \( d \approx 2 \), maka tidak ada autokorelasi.
• Jika \( d < 2 \), ada autokorelasi positif.
• Jika \( d > 2 \), ada autokorelasi negatif.

d. Multikolinearitas

• Terjadi ketika antar variabel independen berkorelasi tinggi.
• Gejala umum: uji F signifikan tetapi banyak uji t tidak signifikan.

---

Penggunaan Model Regresi

a. Confidence Interval Rata-rata:

\[ \hat{y} \pm t_{\alpha/2, n-k-1} \cdot s_\varepsilon \sqrt{\frac{1}{n} + \frac{(X_g - \bar{X})^2}{(n-1) s_x^2}} \]

b. Prediction Interval untuk Individu:

\[ \hat{y} \pm t_{\alpha/2, n-k-1} \cdot s_\varepsilon \sqrt{1 + \frac{1}{n} + \frac{(X_g - \bar{X})^2}{(n-1) s_x^2}} \] ---

Kesimpulan

• Regresi berganda memperluas regresi sederhana dengan lebih banyak variabel prediktor.
• Model valid bila asumsi dasar terpenuhi: normalitas, homoskedastisitas, independensi error.
• Perlu evaluasi multikolinearitas dan autokorelasi pada model dengan data riil.

Ketentuan UAS ES4D

1. UAS ES4D hanya boleh dikerjakan selama 1,5 jam (sudah termasuk mengunggah jawaban berbentuk pdf).
2. Soal UAS ES4D boleh dikerjakan dari 13:00-14:30 dan selanjutnya klik Kirim Jawaban untuk mengunggah jawaban di google form.
3. Setiap mahasiswa akan menerima soal masing-masing sesuai dengan NIM.

Mulai UAS ES4D Kirim Jawaban ES4D

Ketentuan UAS ES4E

1. UAS ES4F hanya boleh dikerjakan selama 1,5 jam (sudah termasuk mengunggah jawaban berbentuk pdf).
2. Soal UAS ES4E boleh dikerjakan dari 13:00-14:30 dan selanjutnya klik Kirim Jawaban untuk mengunggah jawaban di google form.
3. Setiap mahasiswa akan menerima soal masing-masing sesuai dengan NIM.

Mulai UAS ES4E Kirim Jawaban ES4E

Ketentuan UAS ES4F

1. UAS ES4F hanya boleh dikerjakan selama 1,5 jam (sudah termasuk mengunggah jawaban berbentuk pdf).
2. Soal UAS ES4F boleh dikerjakan dari 14:40-15:40 dan selanjutnya klik Kirim Jawaban untuk mengunggah jawaban di google form.
3. Setiap mahasiswa akan menerima soal masing-masing sesuai dengan NIM.

Mulai UAS ES4F Kirim Jawaban ES4F

Daftar Nilai ES4D

Daftar Nilai ES4E

Daftar Nilai ES4F