Kalkulus Integral

Kalkulus Integral

Terakhir diubah pada

Pertemuan 1

RPS

Jadwal Pertemuan Mata Kuliah Kalkulus Integral

Pertemuan Ke- Materi Bab di Buku Acuan
1 Silabus dan Pengenalan Kalkulus Integral: Antiturunan Diskusi dan Rangkuman
2 Luas Area dengan Sigma Bab 5
3 Jumlahan Riemann dan TDK I Bab 5
4 TDK II, Metode Substitusi, dan Teorema Nilai Rata-rata Bab 5
5 Luas Area dengan Integral Bab 5
6 Volum Benda Putar dengan Integral Bab 6
7 Panjang Kurva dengan Integral Bab 6
8 Ujian Tengah Semester (UTS) -
9 Logaritma Bab 7
10 Eksponen Bab 7
11 Fungsi Hiperbola Bab 7
12 Fungsi Pertumbuhan Bab 7
13 Integral Parsial Bab 8
14 Integral Trigonometri Bab 8
15 Integral Fungsi Rasional Bab 24
16 Ujian Akhir Semester (UAS) -

Pertemuan 2

Pertemuan 3

Pertemuan 4

TDK II, Metode Substitusi, dan Teorema Nilai Rata-rata

Pelajari mengenai ketiga hal di atas lalu kerjakan soal-soal di bawah ini beserta tata caranya. Salah satu sumber yang dapat digunakan adalah website dosenuin.github.io.

Soal 1: Diberikan $F(x) = \int_{2}^{x} (3t^2 - 4t) \,dt$. Tentukan dari $F(x)$, yaitu $F'(x)$?

  • A. $x^3 - 2x^2$
  • B. $3x^2 - 4x$
  • C. $6x - 4$
  • D. $0$
Petunjuk

Teorema Dasar Kalkulus

Soal 2: Jika $G(x) = \int_{1}^{x^3} \sqrt{t^2 + 3} \,dt$, tentukan $G'(x)$.

  • A. $\sqrt{x^6 + 3}$
  • B. $3x^2 \sqrt{x^6 + 3}$
  • C. $x^3 \sqrt{x^6 + 3}$
  • D. $\frac{3x^2}{2\sqrt{x^6 + 3}}$
Petunjuk

Teorema Dasar Kalkulus

Soal 3: Tentukan hasil dari $\int (2x+1)^4 \,dx$.

  • A. $\frac{1}{5}(2x+1)^5 + C$
  • B. $\frac{1}{10}(2x+1)^5 + C$
  • C. $8(2x+1)^3 + C$
  • D. $4(2x+1)^3 + C$
Petunjuk

Gunakan metode substitusi

Soal 4: Hitunglah nilai dari integral tentu $\int_{0}^{1} x^2 \sqrt{1+x^3} \,dx$.

  • A. $\frac{2}{9}(2\sqrt{2} - 1)$
  • B. $2\sqrt{2} - 1$
  • C. $\frac{1}{3}(2\sqrt{2} - 1)$
  • D. $\frac{2}{3}$
Petunjuk

Gunakan metode substitusi

Soal 5: Tentukan nilai rata-rata dari fungsi $f(x) = 3x^2 + 1$ pada interval $[0, 2]$.

  • A. 10
  • B. 8
  • C. 5
  • D. 13

Soal 6: Untuk fungsi $f(x) = 4 - x^2$ pada interval $[0, 2]$, carilah nilai $c$ yang memenuhi Teorema Nilai Rata-rata untuk Integral.

  • A. $\frac{8}{3}$
  • B. $\sqrt{\frac{4}{3}}$
  • C. $\frac{4}{3}$
  • D. $2$

Pertemuan 5

Pertemuan 6

Volum Benda Putar dengan Integral

Pelajari mengenai materi hari ini lalu kerjakan soal-soal di bawah ini beserta tata caranya. Salah satu sumber yang dapat digunakan adalah website dosenuin.github.io.

Latihan Soal Dosen: Menghitung Volume dengan Integral

Hari ini kita akan masuk ke salah satu aplikasi integral yang paling menarik, yaitu menghitung volume benda putar dan benda dengan penampang tertentu. Konsep dasarnya adalah "menjumlahkan irisan-irisan tak terhingga tipisnya" untuk membentuk sebuah volume utuh.

Agar pemahaman kalian terasah dengan baik, saya sudah siapkan beberapa soal yang disusun dari tingkat paling dasar hingga yang paling menantang. Kerjakan secara berurutan. Jangan melompat! Setiap soal akan membangun fondasi untuk soal berikutnya.

Mari kita mulai!

Level 1:

Ini adalah konsep paling fundamental. Bayangkan kita memutar sebuah kurva mengelilingi sumbu-x, lalu kita potong-potong menjadi cakram-cakram tipis. Volume totalnya adalah jumlahan volume semua cakram tersebut.

Soal 1:

Tentukan volume benda putar yang terbentuk apabila daerah yang dibatasi oleh kurva $y = x + 1$, sumbu-x, garis $x=0$, dan garis $x=2$ diputar 360° mengelilingi sumbu-x.

Petunjuk:

  • Gambarkan dulu daerahnya.
  • Gunakan rumus dasar volume benda putar metode cakram: $V = \pi \int_{a}^{b} [f(x)]^2 \,dx$.

Level 2:

Bagaimana jika daerah yang diputar memiliki "lubang" di tengahnya? Seperti donat. Di sini kita menggunakan metode cincin (washer), yaitu dengan mengurangi volume benda luar dengan volume lubangnya.

Soal 2:

Hitunglah volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi oleh kurva $y = \sqrt{x}$ dan kurva $y = x^2$ diputar 360° mengelilingi sumbu-x.

Petunjuk:

  • Cari titik potong kedua kurva untuk menentukan batas integral.
  • Identifikasi mana kurva yang menjadi jari-jari luar ($R(x)$) dan mana yang menjadi jari-jari dalam ($r(x)$).
  • Gunakan rumus metode cincin: $V = \pi \int_{a}^{b} ([R(x)]^2 - [r(x)]^2) \,dx$.

Level 3:

Sekarang, sumbu putarnya tidak lagi sumbu-x atau sumbu-y. Kalian harus memodifikasi cara mendefinisikan jari-jari putaran. Ini menguji pemahaman konsep, bukan sekadar hafalan rumus.

Soal 3:

Ambil daerah yang sama dari Soal 2 (dibatasi oleh $y = \sqrt{x}$ dan $y = x^2$). Sekarang, putar daerah tersebut 360° mengelilingi garis y = -1. Tentukan volumenya.

Petunjuk:

  • Jarak dari sumbu putar baru ($y=-1$) ke kurva luar adalah jari-jari luar ($R(x)$) yang baru.
  • Jarak dari sumbu putar baru ($y=-1$) ke kurva dalam adalah jari-jari dalam ($r(x)$) yang baru.
  • Pikirkan: $R(x) = \text{kurva atas} - (-1)$ dan $r(x) = \text{kurva bawah} - (-1)$.
  • Masukkan jari-jari yang sudah dimodifikasi ini ke dalam rumus metode cincin.

Level 4:

Soal terakhir ini sedikit berbeda. Kita tidak memutar daerah, melainkan membangun sebuah benda 3D di atas sebuah alas 2D. Bentuk "irisan" atau penampang melintangnya sudah ditentukan. Ini adalah puncak pemahaman konsep integral sebagai penjumlahan.

Soal 4:

Alas sebuah benda pejal adalah daerah di kuadran pertama yang dibatasi oleh kurva $y = 4 - x^2$ dan sumbu-x serta sumbu-y. Setiap penampang melintang yang tegak lurus dengan sumbu-x berbentuk setengah lingkaran. Tentukan volume benda pejal tersebut.

Petunjuk:

  • Gambarkan alasnya terlebih dahulu untuk menentukan batas integral.
  • Sisi dari penampang (diameter setengah lingkaran) membentang dari sumbu-x ke kurva $y=4-x^2$. Jadi, panjang diameternya adalah $s(x) = 4 - x^2$.
  • Rumus luas setengah lingkaran adalah $A = \frac{1}{2}\pi r^2$. Ingat, jari-jarinya adalah setengah dari diameter. Jadi, $A(x) = \frac{1}{2}\pi \left(\frac{s(x)}{2}\right)^2$.
  • Volume totalnya adalah integral dari luas penampang ini: $V = \int_{a}^{b} A(x) \,dx$.

Selamat mengerjakan! Semangat! 🔥

Game Statistik

Pertemuan 7

Pertemuan 8

Ketentuan UTS

  1. UTS hanya boleh dikerjakan selama 75 menit.
  2. Soal UTS boleh dikerjakan dari 11:45-13:00.
  3. Setiap mahasiswa akan menerima soal masing-masing sesuai dengan NIM.

Pertemuan 9

graph TD subgraph "Diferensiasi (Mencari Laju Perubahan)" A["Fungsi f(x) = ln(x)"] --> B["Turunannya adalah f'(x) = 1/x"]; end subgraph "Integrasi (Mencari Akumulasi Total)" C["Integral dari g(x) = 1/x adalah ..."] --> D["∫(1/x) dx = ?"]; end B -- "Merupakan Invers/Kebalikan" --> D; D --> E["Jawabannya adalah fungsi yang turunannya 1/x,
yaitu ln|x| + C"]; style A fill:#BDE0FE style C fill:#FFC8DD style E fill:#CDB4DB

Latihan Soal

Soal 1: Tentukan hasil dari $\int \frac{7}{x} \,dx$

Soal 2: Tentukan hasil dari $\int \frac{1}{x-5} \,dx$

Soal 3: Tentukan hasil dari $\int \frac{4x}{x^2 + 3} \,dx$

Soal 4: Tentukan hasil dari $\int \tan(x) \,dx$

Soal 5: Tentukan hasil dari $\int \frac{x^2 + 3x + 5}{x+1} \,dx$

Soal 6 (Integral Tentu): Hitunglah nilai dari $\int_{0}^{2} \frac{2x+1}{x^2+x+1} \,dx$

Pertemuan 10

flowchart TD C{"Apakah $f(x) = x^n$? (Aturan Pangkat)"}; C -- Ya --> D["Gunakan: $\frac{x^{n+1}}{n+1} + C$"]; C -- Tidak --> E{"Apakah $f(x) = e^x$? (Eksponen Alami)"}; E -- Ya --> F["Gunakan: $e^x + C$"]; E -- Tidak --> G{"Apakah $f(x) = a^x$? (Basis Lain)"}; G -- Ya --> H["Gunakan: $\frac{a^x}{\ln(a)} + C$"]; G -- Tidak --> I{"Apakah bentuknya $e^{u}$ atau $a^{u}$?
(cth: $\int e^{kx} dx$ atau $\int x \cdot e^{x^2} dx$)"}; I -- Ya --> J["Gunakan Teknik Substitusi
(Misal: $u = kx$ atau $u = x^2$)"]; J --> K["Selesaikan $\int e^u du$ atau $\int a^u du$"]; I -- Tidak --> L{"Apakah bentuknya $x \cdot e^x$ atau $x^2 \cdot a^x$?
(Perkalian fungsi)"}; L -- Ya --> M["Gunakan Integral Parsial
($\int u dv = uv - \int v du$)"]; L -- Tidak --> N["Coba teknik lain / Selesai"]; D --> Z[Selesai]; F --> Z; H --> Z; K --> Z; M --> Z; N --> Z;

Latihan Soal: Eksponen

1. $\int x^5 dx$
2. $\int e^x dx$
3. $\int 7^x dx$
4. $\int e^{4x} dx$
5. $\int 2x \cdot e^{x^2} dx$
6. $\displaystyle\int \frac{1}{e^{3x}} dx$
7. $\displaystyle\int_0^1 x e^x dx$
8. $\displaystyle\int \frac{e^{1/x}}{x^2} dx$

Pertemuan 11

graph TD A(Mulai: Fungsi Hiperbola) --> B{"Definisi Dasar (Eksponensial)"} B --> C["$\sinh(x) = (e^x - e^-x)/2$"] B --> D["$\cosh(x) = (e^x + e^-x)/2$"] C & D --> E(Fungsi Turunan Lainnya) E --> F["$\tanh(x) = \sinh(x)/\cosh(x)$"] E --> G["$sech(x) = 1/\cosh(x)$"] E --> H["$csch(x) = 1/\sinh(x)$"] E --> I["$\coth(x) = 1/\tanh(x)$"] C & D --> J{Identitas Dasar} J --> K["$\cosh^2(x) - \sinh^2(x) = 1$"] J --> L[Identitas Penjumlahan, Sudut Ganda, dll.] C & D & E --> M{Kalkulus Fungsi Hiperbola} M --> N["Turunan: $d/dx(\sinh(x)) = \cosh(x)$"] M --> O["Turunan: $d/dx(\cosh(x)) = \sinh(x)$"] M --> P["Integral: $∫\sinh(x)dx = \cosh(x) + C$"] M --> Q["Fungsi Invers $(arc-sinh, arc-cosh)$"]

Latihan Soal: Fungsi Hiperbola

Gunakan definisi, identitas, dan aturan kalkulus yang telah dipelajari.

Soal 1: Berdasarkan definisi eksponensial, hitunglah nilai eksak dari $\cosh(0)$ dan $\sinh(0)$.


Soal 2: Buktikan identitas utama $\cosh^2(x) - \sinh^2(x) = 1$ menggunakan definisi eksponensial.

Soal 3: Tentukan turunan pertama ($f'(x)$) dari fungsi $f(x) = \cosh(5x^2 + 1)$.


Soal 4: Hitunglah integral tak tentu $\int x \cdot \sinh(x^2) dx$.

Soal 5: Selesaikan persamaan $2\cosh(x) - \sinh(x) = 2$ untuk mendapatkan nilai $x$.


Soal 6: Hitunglah integral $\int \frac{1}{\sqrt{4x^2 - 9}} dx$ untuk $x > 3/2$. (Hint: Gunakan substitusi hiperbolik).

flowchart TD B{Apa bentuk integrannya?}; B -- "Mengandung $\sqrt{a^2 - x^2}$" --> C["Gunakan Substitusi Trigonometri
(x = a sin(u))"]; B -- "Mengandung $\sqrt{a^2 + x^2}$" --> D["Gunakan Substitusi Hiperbolik!
(x = a sinh(u))"]; B -- "Mengandung $\sqrt{x^2 - a^2}$" --> E["Gunakan Substitusi Hiperbolik!
(x = a cosh(u))"]; B -- Bentuk Lain --> F["Gunakan Teknik Lain (Parsial, Substitusi-u, dll)"]; D --> G["Manfaatkan Identitas:
$1 + \sinh^2(u) = \cosh^2(u)$"]; E --> H["Manfaatkan Identitas:
$\cosh^2(u) - 1 = \sinh^2(u)$"]; G --> I[Integral Disederhanakan]; H --> I; C --> I; F --> I; I --> J[Selesaikan Integral Sederhana]; J --> K[Kembalikan Substitusi];

Pertemuan 12

flowchart TD A["Mulai: Bandingkan f(x) dan g(x)"] --> B{Hitung Limit L} B -->|Gunakan L'Hopital jika perlu| C["$$L = \lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{g(x)}$$"] C --> D{Apa hasil L?} D -->|L = 0| E[Kesimpulan: f tumbuh LEBIH LAMBAT dari g] D -->|L = Tak Hingga| F[Kesimpulan: f tumbuh LEBIH CEPAT dari g] D -->|"L = Konstanta (bukan 0)"| G[Kesimpulan: f dan g tumbuh dengan LAJU SAMA] E --> H["Notasi: f = o(g)"] F --> I["Notasi: g = o(g)"] G --> J[Notasi: f ≈ g atau seorde]

Bayangkan x adalah waktu. Kita sedang melihat balapan antara berbagai fungsi saat waktu berjalan menuju tak hingga ($x \to \infty$).

  • 🐢 Logaritma ($\ln x$): Pejalan kaki. Tumbuh, tapi sangat lambat.
  • 🚗 Polinomial ($x^n$): Mobil. Semakin besar pangkat ($n$), semakin besar mesinnya, tapi tetap kalah lawan mobil sport.
  • 🏎️ Eksponensial ($a^x$): Mobil Sport. Tumbuh sangat cepat. Mengalahkan semua polinomial.
  • 🚀 Faktorial ($x!$) & $x^x$: Roket. Tumbuh vertikal (super cepat).

Hierarki Pertumbuhan:

$$ \ln x \ll x^p \ll a^x \ll x! \ll x^x $$
Mudah 1

Tunjukkan bahwa fungsi $f(x) = x^2$ tumbuh lebih lambat daripada $g(x) = e^x$ saat $x \to \infty$.

Mudah 2

Manakah yang tumbuh lebih cepat: $f(x) = \ln(x)$ atau $g(x) = \sqrt{x}$?

Sedang 1

Tentukan apakah $f(x) = \sqrt{x^2 + 5x}$ dan $g(x) = x$ memiliki laju pertumbuhan yang sama.

Sedang 2

Urutkan fungsi berikut dari yang pertumbuhannya paling lambat ke paling cepat: $x^{100}$, $e^{0.1x}$, dan $10 \ln x$.

Susah 1

Buktikan bahwa fungsi faktorial $f(x) = x!$ tumbuh lebih cepat daripada fungsi eksponensial basis berapapun, misalnya $g(x) = 10^x$.

Susah 2

Bandingkan pertumbuhan $f(x) = (\ln x)^x$ dan $g(x) = x^{\ln x}$. Siapa yang lebih cepat?

Pertemuan 13

Pertemuan 14

Pertemuan 15

Pertemuan 16

Ketentuan UAS

  1. UAS hanya boleh dikerjakan selama 1,5 jam (sudah termasuk mengunggah jawaban berbentuk pdf).
  2. Soal UAS boleh dikerjakan dari 10:20-11:20 dan selanjutnya klik Kirim Jawaban untuk mengunggah jawaban di google form.
  3. Setiap mahasiswa akan menerima soal masing-masing sesuai dengan NIM.

Daftar Hadir dan Nilai

Daftar Nilai

Loading...