Matematika Ekonomi

Matematika Ekonomi

Terakhir diubah pada

Pertemuan 1

RPS

Jadwal Pertemuan Mata Kuliah Matematika Ekonomi

Pertemuan Ke- Materi Bab di Buku Acuan
1 Silabus dan Pengenalan Matematika Ekonomi Diskusi dan Rangkuman
2 Persamaan Linier Bab 1
3 Persamaan Tak Linier Bab 2
4 Matematika Keuangan Bab 3
5 Turunan Bab 4
6 Turunan Parsial Bab 5
7 Integral Bab 6
8 Ujian Tengah Semester (UTS) -
9 Matriks Bab 7
10 Pemrograman Linier Bab 8
11 Persamaan Beda dan Persamaan Diferensial Bab 9
12 Metode Simpleks Bab 17
13 Transport Problems Bab 18
14 Dynamic Programming Bab 19
15 Decision Theory Bab 24
16 Ujian Akhir Semester (UAS) -

Pertemuan 2

graph TB A([mengenal garis
$y=mx+c$]) B([mengenal gradien
$m$]) C([mengenal titik potong
$c$]) A --> KOMPONEN subgraph KOMPONEN B -.- C end KOMPONEN --> D([menggambar garis]) D --> E([memformulasikan garis]) E --> F([menentukan titik potong])

Pertemuan 3

graph TB A("Persamaan Tak Linier") B("Persamaan Kuadrat
$ax^2+bx+c$") D("Persamaan Logaritma
$\log_a x$") C("Persamaan Eksponen
$a^x$") A-->B A-->C A-->D B-->komponen1 C --> a1("$a$") D --> a2("$a$") subgraph komponen1 a("$a$") -.- b("$b$") -.- c("$c$") end

Pertemuan 4

graph TB A(" Matematika Keuangan") B("Prosentase
$\%$") C("Bunga
$r$") C1("Bunga Majemuk
$\left(1+\frac{r}{100}\right)^n$") C2("Bunga Sederhana
$\left(1+n\cdot\frac{r}{100} \right)$") C11("Deret Geometri
$ar^{n-1}$") C21("Deret Aritmatika
$a+(n-1)b$") A --> B --> C C --> C1 --> C11 C --> C2 --> C21

Pertemuan 5

Bayangkan saat kalian naik gunung, ada jalan yang terjal, ada jalan landai, ada tempat kemah, serta ada puncak gunung. Semua itu dapat dianggap sebagai elemen dari sebuah kurva.
graph TD a("turunan") a1("konsep turunan") a2("aplikasi turunan") a11("turunan pangkat
$\dfrac{d}{dx}x^n$") a111("turunan pangkat bulat
$\dfrac{d}{dx}x^2$") a112("turunan pangkat akar
$\dfrac{d}{dx}\sqrt{x}$") a21("optimasi biaya") a211("titik stasioner
$\dfrac{d}{dx}f(x)=0$") a-->a1 a-->a2 a1-->a11-->a111 a11-->a112 a2-->a21-->a211

Pelajari materi pada buku 4.1 The derivative of a function, 4.2 Rules of differentiation, 4.3 Marginal function, dan 4.6 Optimisation of economic functions. Selanjutnya sebagai tugas silahkan materi di atas di resume dan selanjutnya jawablah soal-soal di bawah ini. Kerjakan dalam kelompok 5 atau 6 orang.

Bagian 1: Aturan-Aturan Dasar Diferensiasi

Sekarang kita akan menerapkan aturan-aturan dasar turunan. Fokus pada penggunaan rumus secara tepat.

Soal 1 (Aturan Pangkat):

Carilah turunan pertama ($f'(x)$ atau $\frac{dy}{dx}$) dari fungsi-fungsi berikut:

  • a. $f(x) = 10$
  • b. $f(x) = 5x$
  • c. $y = x^7$
  • d. $y = 4x^3 + 2x - 5$

Bagian 2: Fungsi Marjinal dalam Ekonomi

Di sini, kita mulai menerapkan konsep turunan ke dalam konteks ekonomi. Ini adalah jembatan antara matematika murni dan aplikasi praktisnya.

Soal 2 (Biaya Marjinal):

Sebuah perusahaan memiliki fungsi biaya total (Total Cost, TC) untuk memproduksi $Q$ unit barang sebagai berikut:

$$TC = Q^3 - 4Q^2 + 10Q + 75$$
  • a. Tentukan fungsi Biaya Marjinal (Marginal Cost, MC).
  • b. Hitunglah biaya marjinal ketika perusahaan memproduksi 5 unit barang.
  • c. Berikan interpretasi dari angka yang Anda dapatkan di bagian (b). Apa artinya bagi perusahaan?

Soal 3 (Pendapatan Marjinal):

Fungsi permintaan untuk produk suatu perusahaan diberikan oleh $P = 100 - 2Q$, di mana $P$ adalah harga per unit dan $Q$ adalah jumlah unit yang terjual.

  • a. Tentukan fungsi Pendapatan Total (Total Revenue, TR). Ingat, $TR = P \times Q$.
  • b. Dari fungsi Pendapatan Total, carilah fungsi Pendapatan Marjinal (Marginal Revenue, MR).
  • c. Berapa pendapatan marjinal jika perusahaan menjual 20 unit?

Bagian 3: Optimisasi Fungsi Ekonomi

Ini adalah puncak dari materi kita. Anda akan menggabungkan semua pengetahuan sebelumnya untuk membuat keputusan bisnis yang optimal, seperti memaksimalkan keuntungan atau meminimalkan biaya.

Soal 4 (Memaksimalkan Pendapatan):

Menggunakan fungsi permintaan dari Soal 3 ($P = 100 - 2Q$):

  • a. Pada tingkat produksi (Q) berapakah Pendapatan Total (TR) akan mencapai nilai maksimum?
  • b. Berapakah pendapatan total maksimum tersebut?
  • c. Berapa harga (P) yang harus ditetapkan untuk mencapai pendapatan maksimum?

Soal 5 (Memaksimalkan Keuntungan):

Sebuah perusahaan monopoli menghadapi fungsi permintaan $P = 500 - 0.2Q$ dan memiliki fungsi biaya total $TC = 25000 + 100Q + 0.1Q^2$.

  • a. Tentukan fungsi Keuntungan ($\pi$). Ingat, Keuntungan ($\pi$) = Pendapatan Total (TR) - Biaya Total (TC).
  • b. Carilah fungsi Keuntungan Marjinal (turunan dari fungsi keuntungan).
  • c. Tentukan tingkat output ($Q$) yang akan memaksimalkan keuntungan perusahaan. (Petunjuk: Keuntungan maksimal tercapai ketika keuntungan marjinal sama dengan nol, atau ketika MR = MC).
  • d. Hitunglah keuntungan maksimum yang bisa diperoleh perusahaan.

Pertemuan 6

Bayangkan Anda adalah seorang koki di sebuah kafe yang menjual "Kopi Kebahagiaan". Tingkat kebahagiaan pelanggan (mari kita sebut H) setelah meminum kopi Anda bergantung pada dua bahan utama: Jumlah sendok gula (g) dan Jumlah mililiter susu (s)

Dalam ekonomi, "Kopi Kebahagiaan" bisa berupa Laba Perusahaan, Kepuasan Konsumen (Utilitas), atau Jumlah Produksi. Sedangkan "gula" dan "susu" bisa berupa biaya iklan, harga barang, jumlah tenaga kerja, atau modal.

graph TD a(("Turunan Parsial")) subgraph Dua Definisi a1("Leibniz
$∂f/∂x$
$∂z/∂y$") a2("Lagrange
$f_x$
$f_y$") end a-->a1 a-->a2 a-->a11("Teori Konsumen")-->a111("Fungsi Utilitas") a-->a21("Teori Produksi")-->a211("Fungsi Cobb-Douglas")

Game Statistik

Pertemuan 7

Pertemuan 8

Ketentuan UTS

  1. UTS hanya boleh dikerjakan selama 75 menit.
  2. Soal UTS boleh dikerjakan dari 08:50-10:05.
  3. Setiap mahasiswa akan menerima soal masing-masing sesuai dengan NIM.

Pertemuan 9

Pertemuan 10

Bayangkan Anda adalah manajer sebuah kafe kecil. Anda ingin memaksimalkan keuntungan harian.

  1. Variabel Keputusan ($x, y$): Anda harus memutuskan dua hal: mau buat berapa cangkir Kopi ($x$) dan berapa cangkir Teh ($y$) hari ini.
  2. Fungsi Tujuan (Profit): Anda tahu, satu Kopi ($x$) memberi untung Rp3.000, dan satu Teh ($y$) memberi untung Rp2.000. Tujuan Anda adalah memaksimalkan total keuntungan.Dalam bahasa matematika: Maksimalkan $Z = 3000x + 2000y$. $Z$ ini adalah "Fungsi Tujuan" Anda.
  3. Kendala (Constraints): Tapi, Anda tidak bisa membuat kopi dan teh sebanyak-banyaknya. Anda punya batasan:
    • Biji Kopi: Anda hanya punya stok untuk 50 cangkir kopi. ($x \le 50$)
    • Daun Teh: Stok Anda hanya cukup untuk 80 cangkir teh. ($y \le 80$)
    • Kapasitas Mesin: Mesin Anda hanya bisa memproses total 100 cangkir (kopi + teh) per hari. ($x + y \le 100$)
    • Non-Negatif: Anda tidak mungkin membuat "-5 cangkir kopi", kan? ($x \ge 0, y \ge 0$)

Pemrograman Linier adalah metode matematika yang Anda gunakan untuk menemukan angka pasti berapa $x$ (Kopi) dan berapa $y$ (Teh) yang harus Anda buat agar nilai $Z$ (Total Keuntungan) menjadi paling tinggi, tanpa melanggar satupun batasan (kendala) Anda.

flowchart TD C["Tentukan Variabel Keputusan (x, y, ...)"]; C --> D["Rumuskan Fungsi Tujuan (Maks/Min Z)"]; D --> E[Rumuskan Semua Fungsi Kendala/Batasan]; E --> F["Gambarkan Grafiknya & Tentukan Daerah Layak (Feasible Region)"]; F --> G[Cari Titik-Titik Pojok/Sudut Daerah Layak]; G --> H{Uji semua Titik Pojok ke Fungsi Tujuan}; H --> I["Tentukan Nilai Optimal (Maksimum/Minimum)"]; I --> J[Selesai/Ambil Keputusan];

Tonton video di bawah ini selanjutnya praktikkan cara mengerjakannya pada soal-soal di bawah ini. Kerjakan secara berkelompok 5 atau 6 orang.

Latihan Soal Pemrograman Linier

Soal 1 (Identifikasi Model)

Sebuah pabrik memproduksi dua jenis produk, A ($x$) dan B ($y$). Model LP untuk memaksimalkan keuntungan ($Z$) adalah sebagai berikut:

Maksimalkan $Z = 10x + 15y$

Dengan kendala:

  1. $2x + 3y \le 120$ (Kendala Mesin 1)
  2. $x + y \le 50$ (Kendala Mesin 2)
  3. $x \ge 0, y \ge 0$

Apa arti dari $Z$, $x$, $y \ge 0$, dan $2x + 3y \le 120$?

Soal 2 (Menggambar Kendala)

Gambarkan daerah yang memenuhi kendala $x + 2y \le 10$ pada kuadran pertama ($x \ge 0, y \ge 0$).

Soal 3 (Maksimisasi Grafis)

Seorang pengrajin tas membuat dua jenis tas: Tas Jinjing ($x$) dan Tas Ransel ($y$).

  • Keuntungan Tas Jinjing adalah Rp20.000 per unit.
  • Keuntungan Tas Ransel adalah Rp30.000 per unit.
  • Waktu pengerjaan Tas Jinjing 2 jam, Tas Ransel 3 jam. Total jam kerja yang tersedia 120 jam.
  • Bahan baku untuk Tas Jinjing 1 meter, Tas Ransel 2 meter. Total bahan baku tersedia 80 meter.

Berapa banyak Tas Jinjing dan Tas Ransel yang harus dibuat untuk memaksimalkan keuntungan?

Soal 4 (Minimisasi Grafis)

Seorang peternak harus memenuhi kebutuhan nutrisi minimum harian ternaknya: 60 unit Protein dan 40 unit Lemak.

  • Makanan Tipe A ($x$) berharga Rp5.000/kg, mengandung 3 unit Protein dan 4 unit Lemak.
  • Makanan Tipe B ($y$) berharga Rp4.000/kg, mengandung 6 unit Protein dan 2 unit Lemak.

Berapa kg masing-masing makanan harus dibeli agar biaya minimum?

Soal 5 (Interpretasi - Kendala Mengikat)

Dari solusi Soal 3 (Maksimisasi Tas), kendala manakah yang bersifat "mengikat" (binding constraint)? Apa artinya jika pengrajin tersebut menambah 10 jam kerja lagi?

Soal 6 (Interpretasi - Solusi Optimal Ganda)

Sebuah perusahaan ingin memaksimalkan pendapatan $Z = 6x + 4y$.

Kendala yang dimiliki adalah:

  1. $3x + 2y \le 18$
  2. $x + y \le 7$
  3. $x \ge 0, y \ge 0$

Temukan solusi optimalnya dan jelaskan jika ada keanehan pada hasilnya.

Pertemuan 11

flowchart TD A[Analisis Dinamis Ekonomi] --> B{Sifat Waktu?} B -- Waktu Diskrit --> C[Persamaan Beda] B -- Waktu Kontinyu --> D[Persamaan Diferensial] C --> C1[Perubahan bertahap/Periode] C --> C2[Notasi: $y_t+1 - y_t$] C --> C3[Contoh: Bunga Majemuk, Model Cobweb] D --> D1[Perubahan Sesaat/Instant] D --> D2[Notasi: dy/dt] D --> D3[Contoh: Model Pertumbuhan Domar, Inflasi Kontinyu] C3 --> E[Solusi Kestabilan] D3 --> E E --> F{Apakah Konvergen?} F -- Ya --> G[Menuju Ekuilibrium Stabil] F -- Tidak --> H[Divergen / Meledak]

Memahami Matematika Ekonomi: Persamaan Beda vs Diferensial

Analogi Sederhana: Tangga vs Prosotan

Bayangkan perubahan variabel ekonomi seperti pergerakan ketinggian:

  • Persamaan Beda (Difference Equation): Seperti menaiki TANGGA. Perubahan terjadi per anak tangga (per periode). Data bersifat diskrit (Tahun 1, Tahun 2, dst).
    Contoh: Bunga deposito tahunan.
  • Persamaan Diferensial (Differential Equation): Seperti menaiki PROSOTAN/BIDANG MIRING. Perubahan terjadi setiap detik secara mulus (kontinyu).
    Contoh: Pergerakan harga saham real-time.

Latihan Soal & Pembahasan

Cobalah kerjakan soal di bawah ini sebelum melihat kuncinya!

Soal 1 (Persamaan Beda):
Seorang mahasiswa menyimpan uang $\$100$ dengan bunga $5\%$ per tahun. Tentukan persamaan beda untuk saldo tabungan ($Y_t$) dan hitung saldo pada tahun ke-2.
Soal 2 (Persamaan Diferensial):
Laju pertumbuhan populasi adalah $\frac{dy}{dt} = 0.1y$. Jika populasi awal $y(0) = 50$, tentukan fungsi $y(t)$.
Soal 3 (Persamaan Beda - Model Pendapatan):
Diketahui $Y_t = C_t + I_t$, dimana $C_t = 0.8 Y_{t-1}$ dan $I_t = 100$. Jika $Y_0 = 400$, cari $Y_t$.
Soal 4 (Persamaan Diferensial - Harga Pasar):
$Q_d = 10 - 2P$, $Q_s = -2 + 4P$. Perubahan harga $\frac{dP}{dt} = 0.5(Q_d - Q_s)$. Cari $P(t)$ jika $P(0)=5$.

Pertemuan 12

flowchart TD Start([Mulai]) --> Formulasi[Formulasi Model Matematika\nFungsi Tujuan & Kendala] Formulasi --> BentukStandar[Ubah ke Bentuk Standar\nTambahkan Slack Variables] BentukStandar --> TabelAwal[Buat Tabel Simpleks Awal] TabelAwal --> CekOptimal{Cek Baris Z / Cj-Zj\nApakah ada nilai Negatif?} CekOptimal -- Tidak Ada Negatif --> Solusi[Solusi Optimal Ditemukan] Solusi --> Selesai([Selesai]) CekOptimal -- Ada Negatif --> KolomPivot[1. Tentukan Kolom Pivot\nNilai negatif terbesar] KolomPivot --> BarisPivot[2. Tentukan Baris Pivot\nRasio positif terkecil: RHS/KolomPivot] BarisPivot --> OBE[3. Lakukan Operasi Baris Dasar\nHitung Tabel Baru] OBE --> TabelBaru[Tabel Simpleks Baru] TabelBaru --> CekOptimal

Soal 1:

Sebuah pabrik memproduksi tiga jenis makanan: A, B, dan C. Keuntungan per unit berturut-turut adalah Rp10, Rp15, dan Rp12.

Kendala:

  • Bahan mentah: \( 2x + 3y + 1z \leq 100 \)
  • Waktu kerja: \( 4x + y + 2z \leq 120 \)
  • Ruang penyimpanan: \( x + y + z \leq 50 \)

Model:

\[ \max Z = 10x + 15y + 12z \]

Soal 2:

Suatu perusahaan memproduksi barang X, Y, dan Z. Laba per unit: X = 30, Y = 20, Z = 40.

Kendala:

  • Tenaga kerja: \( 2x + 3y + z \leq 180 \)
  • Bahan baku: \( x + y + 2z \leq 150 \)
  • Mesin: \( x + 2y + z \leq 170 \)

Model:

\[ \max Z = 30x + 20y + 40z \]

Soal 3:

Perusahaan ingin memproduksi tiga komponen A, B, dan C dengan biaya per unit masing-masing Rp5, Rp4, dan Rp6.

Kebutuhan minimum:

  • Minimum 60 jam kerja: \( 3x + 2y + z \geq 60 \)
  • Minimum 90 unit produksi: \( x + 3y + 2z \geq 90 \)
  • Minimum 50 ruang produksi: \( 2x + y + 2z \geq 50 \)

Model:

\[ \min Z = 5x + 4y + 6z \]

Pertemuan 13

Pertemuan 14

Pertemuan 15

Pertemuan 16

Ketentuan UAS

  1. UAS hanya boleh dikerjakan selama 1,5 jam (sudah termasuk mengunggah jawaban berbentuk pdf).
  2. Soal UAS boleh dikerjakan dari 10:20-11:20 dan selanjutnya klik Kirim Jawaban untuk mengunggah jawaban di google form.
  3. Setiap mahasiswa akan menerima soal masing-masing sesuai dengan NIM.

Daftar Hadir dan Nilai

Daftar Nilai

Loading...