DNA

Matematika Ekonomi I

Terakhir diubah pada

Pertemuan 1

RPS

Jadwal Pertemuan Mata Kuliah Matematika Ekonomi I

Pertemuan Ke- Materi Bab di Buku Acuan
1 Silabus dan Pengenalan Matematika Ekonomi Diskusi dan Rangkuman
2 Persamaan Linier Bab 1
3 Aplikasi Persamaan Linier Bab 1
4 Persamaan Kuadrat Bab 2
5 Aplikasi Persamaan Kuadrat Bab 2
6 Logaritma dan Eksponen Bab 2
7 Prosentase dan Bunga Bab 6
8 Ujian Tengah Semester (UTS) -
9 Turunan Bab 4
10 Aplikasi Turunan Bab 4
11 Turunan Logaritma Bab 4
12 Turunan Parsial Bab 5
13 Aplikasi Turunan Parsial Bab 5
14 Optimisasi Tanpa Kendala Bab 8
15 Optimisasi dengan Kendala Bab 24
16 Ujian Akhir Semester (UAS) -

Pertemuan 2

Persamaan Linier

graph TB A((mengenal garis
$y=mx+c$)) B([mengenal gradien
$m$]) C([mengenal titik potong
$c$]) A --> KOMPONEN subgraph KOMPONEN B -.- C end KOMPONEN --> D([menggambar garis]) D --> E([memformulasikan garis]) E --> F([menentukan titik potong])

Pertemuan 3

graph TB A(("Aplikasi Persamaan Linier")) A1("kurva permintaan") A2("kurva penawaran") B("analisis pajak") C("barang suplementer") D("barang komplementer") A--> A1 A--> A2 A1 --> B A2 -->B A1-->C A2 --> C A1-->D A2 --> D

Pertemuan 4

graph TB A(("Persamaan Tak Linier")) B("Persamaan Kuadrat
$ax^2+bx+c$") D("Persamaan Logaritma
$\log_a x$") C("Persamaan Eksponen
$a^x$") A-->B A-->C A-->D B-->komponen1 C --> a1("$a$") D --> a2("$a$") subgraph komponen1 a("$a$") -.- b("$b$") -.- c("$c$") end

Pertemuan 5

graph TB a(("Pendapatan, Biaya, dan Keuntungan")) a1("Pendapatan
$TR$") a2("Biaya
$TC$") a3("Keuntungan
$\pi$") b("Persamaan Kuadrat
$ax^2+bx+c=0$") b1("Maksimum/Minimum
$x_p=-\dfrac{b}{2a}$") b2("BEP
$x_1$ dan $x_2$") a --> a1 a --> a2 a --> a3 a1 --> b a2 --> b a3 --> b b --> b1 b --> b2

Pertemuan 6

graph TD a(("matematika keuangan")) a1("prosentase") a11("pertumbuhan") a2("deret aritmatika") a21("bunga sederhana") a3("deret geometri") a31("bunga majemuk") a-->a1 a-->a2 a-->a3 a1-->a11 a2-->a21 a3-->a31

Game Statistik

Pertemuan 7

Anuitas adalah cicilan/pemasukan rutinnya, PVA adalah nilai total pemasukan itu jika ditarik ke hari ini, dan NPV adalah hasil akhir untung-rugi setelah membandingkan nilai tersebut dengan modal awal.

graph TD a(("Anuitas dan NPV"))-->a1("Anuitas
Cicilan
Pembayaran") a-->a2("NPV
Net Present Value") a1-->a11("Anuitas Biasa")-->a111("Langganan Netflix") a1-->a12("Anuitas Jatuh Tempo")-->a121("Kontrak Rumah") a1-->a13("Anuitas Ditunda")-->a131("Dana Pensiun") a2-->a21("PV
Present Value") a2-->a22("FV
Future Value") a21-->a211("Menilai Investasi") a22-->a211

Studi Kasus Pilihan Investasi

Kasus 1: Pertarungan Waralaba Minuman Kekinian

Anda memiliki modal sebesar Rp 250.000.000 dan sedang mempertimbangkan untuk membeli salah satu dari dua waralaba minuman yang sedang naik daun. Keduanya diprediksi akan bertahan selama 5 tahun. Tingkat keuntungan yang Anda harapkan (discount rate) adalah 12% per tahun.

  1. Opsi A: Waralaba "Boba Bahagia"
    • Biaya Investasi Awal: Rp 250.000.000
    • Prediksi Arus Kas Masuk Bersih (setiap akhir tahun):
      • Tahun 1: Rp 80.000.000
      • Tahun 2: Rp 85.000.000
      • Tahun 3: Rp 90.000.000
      • Tahun 4: Rp 75.000.000
      • Tahun 5: Rp 70.000.000
  2. Opsi B: Waralaba "Kopi Kenangan Manis"
    • Biaya Investasi Awal: Rp 250.000.000
    • Prediksi Arus Kas Masuk Bersih: Proyeksi dari waralaba ini lebih stabil, yaitu sebesar Rp 80.000.000 setiap akhir tahun selama 5 tahun. (Ini adalah anuitas biasa).

Pertanyaan: Berdasarkan perhitungan NPV, waralaba manakah yang sebaiknya Anda pilih?

Kasus 2: Investasi Aset Produktif (Rental Mobil)

Sebuah perusahaan rental mobil ingin menambah armada baru. Ada dua jenis mobil yang sedang dipertimbangkan. Perusahaan menggunakan discount rate sebesar 14% untuk mengevaluasi semua investasi asetnya.

  1. Opsi A: Mobil SUV Keluarga
    • Harga Beli (Investasi Awal): Rp 400.000.000
    • Masa Pakai Produktif: 4 tahun
    • Pendapatan Sewa Bersih (Anuitas): Diperkirakan menghasilkan Rp 150.000.000 setiap akhir tahun.
    • Nilai Jual Kembali (Salvage Value): Di akhir tahun ke-4, mobil ini diperkirakan bisa dijual seharga Rp 120.000.000.
  2. Opsi B: Mobil Listrik Premium
    • Harga Beli (Investasi Awal): Rp 550.000.000
    • Masa Pakai Produktif: 4 tahun
    • Pendapatan Sewa Bersih (Anuitas): Diperkirakan menghasilkan Rp 200.000.000 setiap akhir tahun.
    • Nilai Jual Kembali (Salvage Value): Di akhir tahun ke-4, mobil ini diperkirakan bisa dijual seharga Rp 150.000.000.

Pertanyaan: Mobil manakah yang memberikan nilai tambah (NPV) lebih tinggi bagi perusahaan rental tersebut?

Soal 1: Anda mengambil pinjaman dan harus membayar cicilan sebesar Rp 1.500.000 setiap akhir bulan selama 3 tahun. Anuitas apa ini?

Soal 2: Berapakah nilai sekarang (Present Value) dari uang sejumlah Rp 10.000.000 yang akan Anda terima tepat 1 tahun dari sekarang, jika tingkat suku bunga yang relevan adalah 7% per tahun?

Soal 3: Sebuah perusahaan berinvestasi pada sebuah proyek dengan biaya awal Rp 200.000.000. Proyek ini diharapkan memberikan arus kas masuk bersih sebesar Rp 60.000.000 setiap tahun selama 5 tahun. Jika tingkat diskonto adalah 10% per tahun, hitunglah NPV proyek tersebut dan tentukan apakah proyek ini layak?

Soal 4: Proyek "Omega" memerlukan investasi awal sebesar Rp 500.000.000. Arus kas yang diharapkan tidak sama setiap tahunnya, yaitu:
Tahun 1: Rp 150.000.000
Tahun 2: Rp 200.000.000
Tahun 3: Rp 250.000.000
Tahun 4: Rp 100.000.000
Jika perusahaan menetapkan required rate of return sebesar 12%, apakah proyek "Omega" ini sebaiknya dijalankan?

Soal 5: Setiap tanggal 1 Januari, sebuah yayasan menerima donasi beasiswa sebesar Rp 100.000.000 untuk 10 tahun ke depan. Termasuk jenis anuitas apakah ini? Jelaskan.

Soal 6: Seorang karyawan membeli produk asuransi pensiun. Ia akan membayar premi hingga usia 50 tahun, dan baru akan mulai menerima dana pensiun bulanan saat ia berusia 60 tahun. Jenis anuitas apa yang menggambarkan fase penerimaan dana tersebut?

Soal 7: Anda akan menabung sebesar Rp 5.000.000 setiap awal tahun selama 4 tahun ke depan di sebuah instrumen investasi yang memberikan imbal hasil 8% per tahun. Berapakah total nilai tabungan Anda di akhir tahun ke-4?

Soal 8: Sebuah perusahaan properti menawarkan investasi: Bayar Rp 300.000.000 hari ini. Anda tidak akan menerima apa pun selama 3 tahun pertama (masa pembangunan). Mulai akhir tahun ke-4, Anda akan menerima pendapatan sewa bersih sebesar Rp 75.000.000 per tahun selama 5 tahun (dari akhir tahun 4 hingga akhir tahun 8). Jika tingkat diskonto yang Anda harapkan adalah 10%, apakah investasi ini layak (hitung NPV-nya)?

Pertemuan 8

Ketentuan UTS

  1. UTS hanya boleh dikerjakan selama 1.5 jam.
  2. Soal UTS boleh dikerjakan dari 13:10-14:40.
  3. Setiap mahasiswa akan menerima soal masing-masing sesuai dengan NIM.

Pertemuan 9

Pertemuan 10

flowchart TD subgraph konsep A[Konsep Turunan Matematika] -->|Diterapkan ke| B(Ekonomi); B --> C{Konsep MARJINAL}; C --> D["Perubahan 'Total' akibat 1 unit tambahan 'Input'"]; end subgraph aplikasi E(Fungsi Total) --> F(Turunan Pertama); TC(Fungsi Total Biaya / TC) --> |dTC/dQ| MC(Biaya Marjinal / MC); TR(Fungsi Total Penerimaan / TR) --> |dTR/dQ| MR(Penerimaan Marjinal / MR); TU(Fungsi Total Utilitas / TU) --> |dTU/dQ| MU(Utilitas Marjinal / MU); TP(Fungsi Total Produksi / TP) --> |dTP/dL| MP(Produk Marjinal / MP); end subgraph optimisasi G[Profit Maksimum?] --> H{Syarat: MR = MC}; I[Biaya Minimum?] --> J{Syarat: Turunan Pertama = 0}; end konsep --> aplikasi --> optimisasi

Latihan Soal

Berikut adalah latihan soal untuk menguji pemahaman Anda tentang konsep marginal dan optimisasi menggunakan turunan. Kerjakan dari tingkat termudah hingga tersulit.

  1. Soal: Fungsi Total Biaya (TC) untuk memproduksi $Q$ unit barang adalah $TC = 5Q^2 + 20Q + 100$. Tentukan fungsi Biaya Marjinal (MC).

  2. Soal: Fungsi Total Penerimaan (TR) sebuah perusahaan diberikan oleh $TR = -4Q^2 + 80Q$. Tentukan fungsi Penerimaan Marjinal (MR).

  1. Soal: Menggunakan fungsi $TC = 5Q^2 + 20Q + 100$ dari soal sebelumnya, berapakah Biaya Marjinal (MC) jika perusahaan sedang memproduksi $Q = 10$ unit? Apa artinya ini?

  2. Soal: Fungsi permintaan pasar adalah $P = 40 - 2Q$. Tentukan fungsi Penerimaan Marjinal (MR). (Petunjuk: Cari TR terlebih dahulu).

  1. Soal: Sebuah perusahaan memiliki fungsi Total Penerimaan $TR = 100Q - 2Q^2$ dan fungsi Total Biaya $TC = Q^2 + 10Q + 50$.

    • a. Tentukan fungsi MR dan MC.
    • b. Tentukan jumlah $Q$ yang harus diproduksi agar profit maksimum.
    • c. Berapa profit maksimum tersebut?

Pertemuan 11

Apa bedanya keuntungan 10 juta bagi UMKM dengan keuntungan 10 juta pada perusahaan multinasional?

Jika Anda hanya menggunakan "turunan biasa" (melihat perubahan absolut), kedua pasien ini terlihat sama-sama "sehat" dengan pertumbuhan 10 juta.

Tapi sebagai ekonom, Anda tahu ada yang berbeda. Kenaikan 10 juta bagi warung kecil itu adalah lompatan besar (mungkin 100% dari modal), sementara bagi perusahaan multinasional, 10 juta itu mungkin hanya 0.01% dari total pendapatan mereka.

flowchart TD D["Perubahan Proporsional/Persentase
(Turunan Logaritma)"]; D --> E[Mengapa Logaritma?]; E --> F["1. Menyederhanakan Fungsi
(Perkalian -> Penjumlahan, Pangkat -> Perkalian)"]; E --> G["2. Menghitung Laju Pertumbuhan Proporsional
d(ln(Y))/dX = Y'/Y"]; E --> H["3. Menghitung Elastisitas
E = d(ln(Y)) / d(ln(X))"]; H --> M[Aplikasi Utama: Elastisitas]; M --> N["Elastisitas Harga Permintaan
Q = f(P) -> E_p = d(ln(Q)) / d(ln(P))"]; M --> O["Fungsi Produksi Cobb-Douglas
Q = A*L^a*K^b
ln(Q) = ln(A) + a*ln(L) + b*ln(K)"]; O --> P["Elastisitas Output thd L = a
Elastisitas Output thd K = b"]; Z[Analisis Ekonomi]; N --> Z; P --> Z;

Latihan Soal: Turunan Logaritma dalam Matematika Ekonomi

Gunakan pengetahuan Anda tentang turunan fungsi logaritma dan diferensiasi logaritmik untuk menyelesaikan soal-soal berikut.

Soal 1:

Diberikan fungsi total biaya (Total Cost) $C(q) = 5 \ln(q^2 + 10)$, di mana $q$ adalah jumlah unit yang diproduksi. Tentukan fungsi biaya marjinal (Marginal Cost, $MC$).

Ingat: $MC = C'(q)$

Soal 2:

Tentukan turunan dari fungsi $y = \ln(x(3x-1))$.

Soal 3:

Gunakan diferensiasi logaritmik untuk mencari turunan $\frac{dy}{dx}$ dari fungsi $y = x^x$, di mana $x > 0$.

Pertemuan 12

Bayangkan Anda adalah seorang Barista di sebuah kedai kopi. Untuk membuat secangkir kopi yang nikmat (kita sebut ini sebagai Output atau Z), Anda memiliki dua bahan utama (kita sebut ini Input atau Variabel Independen):

  1. Gula (x)
  2. Bubuk Kopi (y)

Apa itu Turunan Parsial?

Turunan parsial adalah saat Anda ingin mengetahui: "Jika saya menambah takaran Gula sedikit saja, tapi takaran Bubuk Kopi saya biarkan TETAP (tidak berubah), seberapa besar perubahan rasa manis/kepuasan pelanggan?"

Dalam Ekonomi, ini adalah dasar dari Marginal Utility (Tambahan kepuasan dari menambah 1 unit barang) dan Marginal Product (Tambahan output dari menambah 1 tenaga kerja).

flowchart TD A[Fungsi Multivariabel] -->|"Contoh: Z = f (x, y)"| B(Turunan Parsial) B --> C{Pilih Variabel Berubah} C -->|x berubah, y tetap| D[Turunan terhadap x] D --> D1[Simbol: ∂Z/∂x atau Zx] D1 --> D2[Perlakukan y sebagai Konstanta] D2 --> E[Aplikasi Ekonomi: Marginal Utility of X / MUx] C -->|y berubah, x tetap| F[Turunan terhadap y] F --> F1[Simbol: ∂Z/∂y atau Zy] F1 --> F2[Perlakukan x sebagai Konstanta] F2 --> G[Aplikasi Ekonomi: Marginal Utility of Y / MUy] E --> H[Interpretasi: Perubahan Z akibat kenaikan 1 unit x] G --> H
Soal 1: Diketahui fungsi $Z = 3x^2 + 5y - 10$. Tentukan turunan parsial $Z$ terhadap $x$ ($\frac{\partial Z}{\partial x}$) dan terhadap $y$ ($\frac{\partial Z}{\partial y}$).
Soal 2: Diketahui fungsi $Z = 4x^3 - 2y^2 + 7x$. Tentukan $\frac{\partial Z}{\partial y}$.
Soal 3 (Fungsi Utilitas): Diketahui fungsi kepuasan konsumen adalah $U = x^2 y^3$. Tentukan Marginal Utility dari barang X ($MU_x$) dan barang Y ($MU_y$).
Soal 4: Diketahui fungsi $Z = 2x^2 + 3xy + y^2$. Tentukan nilai $\frac{\partial Z}{\partial x}$ pada saat $x=2$ dan $y=1$.
Soal 5 (Fungsi Produksi Cobb-Douglas): Sebuah perusahaan memiliki fungsi produksi $Q = 10 K^{0,5} L^{0,5}$, di mana $K$ adalah Modal dan $L$ adalah Tenaga Kerja.
a. Tentukan Marginal Product of Labor ($MP_L$).
b. Apakah fungsi ini menunjukkan Diminishing Marginal Returns terhadap tenaga kerja? Buktikan dengan turunan kedua ($\frac{\partial^2 Q}{\partial L^2}$).
Soal 6 (Elastisitas Silang): Fungsi permintaan barang A dinyatakan sebagai $Q_A = 100 - 2P_A + P_B$, dimana $P_A$ adalah harga barang A dan $P_B$ adalah harga barang B.
Tentukan hubungan antara Barang A dan Barang B dengan menggunakan turunan parsial $\frac{\partial Q_A}{\partial P_B}$. Apakah mereka barang Substitusi atau Komplementer?

Pertemuan 13

flowchart TD A["Mulai: Fungsi Ekonomi Z = f(x, y)"] --> B{Apa Tujuan Analisis?} B -->|Mencari Nilai Marjinal| C[Turunkan Fungsi] B -->|Analisis Elastisitas/Hubungan| D[Turunkan & Evaluasi Tanda] C --> C1[Turunkan terhadap x\nAnggap y adalah angka biasa] C --> C2[Turunkan terhadap y\nAnggap x adalah angka biasa] C1 --> E[Hasil: Marginal Utility/Product X] C2 --> F[Hasil: Marginal Utility/Product Y] D --> D1["Cari Turunan Parsial Silang\n(Cross Partial)"] D1 --> G{Evaluasi Tanda Hasil} G -->|"Positif (+)"| H[Barang Substitusi] G -->|"Negatif (-)"| I[Barang Komplementer] E --> J[Interpretasi Ekonomi] F --> J H --> J I --> J

Soal 1: Utilitas Marjinal

Diketahui fungsi utilitas total seorang konsumen adalah \( U = 4x^2 + 3y^2 \). Tentukan persamaan Utilitas Marjinal barang x (\(MU_x\)) dan barang y (\(MU_y\)).

Soal 2: Biaya Marjinal Gabungan

Fungsi biaya gabungan untuk memproduksi dua barang adalah \( C = 10 + 5Q_a + 2Q_b \). Berapakah biaya marjinal untuk memproduksi barang A (\(MC_a\))?

Soal 3: Fungsi Produksi Cobb-Douglas

Diketahui fungsi produksi \( P = 10 K^{0.5} L^{0.5} \), dimana K adalah modal dan L adalah tenaga kerja. Tentukan Produk Marjinal Tenaga Kerja (\(MP_L\)).

Soal 4: Hubungan Dua Barang

Fungsi permintaan barang A adalah \( Q_A = 100 - 3P_A + 2P_B \). Apakah barang A dan barang B bersifat substitusi atau komplementer? Buktikan dengan turunan parsial.

Soal 5: Evaluasi Nilai Marjinal

Fungsi Utilitas konsumen adalah \( U = x^3 y^2 \). Jika saat ini konsumen mengonsumsi \(x=2\) dan \(y=3\), berapakah nilai Utilitas Marjinal barang y (\(MU_y\)) pada titik tersebut?

Soal 6: Elastisitas Silang

Fungsi permintaan gula (G) adalah \( Q_G = 50 - 2P_G - 1.5P_K + 0.1Y \), dimana \(P_K\) adalah harga kopi dan \(Y\) adalah pendapatan. Tentukan nilai Elastisitas Silang permintaan gula terhadap harga kopi jika \(P_G=10\), \(P_K=20\), dan \(Y=1000\).

Pertemuan 14

flowchart TD A["Mulai: Fungsi f(x,y)"] --> B[Cari Turunan Parsial Pertama\nfx dan fy] B --> C{Syarat Perlu FOC\nSet fx = 0 dan fy = 0} C --> D[Selesaikan Sistem Persamaan\nCari nilai x dan y] D --> E[Cari Turunan Parsial Kedua\nfxx, fyy, fxy] E --> F["Hitung Determinan Hessian |H|\n|H| = fxx*fyy - (fxy)^2"] F --> G{"Cek Nilai |H|"} G -- "|H| > 0" --> H{Cek Nilai fxx} G -- "|H| < 0" --> I["Titik Pelana / Saddle Point\n(Bukan Max, Bukan Min)"] G -- "|H| = 0" --> J["Pengujian Gagal\n(Butuh investigasi lanjut)"] H -- "fxx < 0" --> K[Titik Maksimum Relatif] H -- "fxx > 0" --> L[Titik Minimum Relatif] I --> M[Selesai] K --> M L --> M J --> M

Tentukan nilai stasioner dari fungsi berikut dan tentukan apakah titik tersebut maksimum, minimum, atau titik pelana:

\( z = x^2 + y^2 - 4x - 6y + 15 \)

Sebuah perusahaan memiliki fungsi laba (\(\pi\)) yang bergantung pada jumlah iklan di TV (\(x\)) dan Radio (\(y\)):

\( \pi = 100x - 2x^2 + 80y - y^2 \)

Berapa unit iklan TV dan Radio agar laba maksimum?

Diketahui fungsi \( z = x^3 - 3xy + y^3 \). Cari titik kritisnya dan klasifikasikan apakah Maksimum, Minimum, atau Saddle Point.

Sebuah perusahaan memproduksi dua jenis barang dengan fungsi biaya gabungan:

\( C = 2x^2 + xy + y^2 + 500 \)

Jika perusahaan ingin meminimalisasi biaya produksi, berapakah jumlah \( x \) dan \( y \) yang harus diproduksi? Apakah hasilnya masuk akal secara ekonomi?

Pertemuan 15

flowchart TD A([Mulai]) --> B[Identifikasi Masalah]; B --> C{Tentukan Fungsi}; C -->|Fungsi yang dimaksimumkan| D["Fungsi Objektif: $f(x,y)$"]; C -->|Batasan/Budget| E["Fungsi Kendala: $g (x,y) = c$"]; E --> F["Ubah Kendala jadi = 0:
$g (x,y) - c = 0$"]; D & F --> G["Bentuk Fungsi Lagrange L:
$L = f (x,y) - λ g (x,y) - c$"]; G --> H[Cari Turunan Parsial Pertama
FOC - First Order Conditions]; H --> I["$∂L/∂x = 0$
$∂L/∂y = 0$
$∂L/∂λ = 0$"]; I --> J[Selesaikan Sistem Persamaan Linear]; J --> K[Dapatkan nilai $x*, y*,$ dan $λ*$]; K --> L["Substitusi $x*$ dan $y*$ ke $f (x,y)$"]; L --> M([Selesai: Nilai Optimum Ditemukan]);

Soal 1: Maksimalisasi Produk

Tentukan nilai maksimum dari fungsi $z = xy$ dengan kendala $x + y = 6$.

Langkah 1: Bentuk Fungsi Lagrange

$$L = xy - \lambda(x + y - 6)$$

Langkah 2: Turunan Parsial (FOC)

  1. $L_x = y - \lambda = 0 \implies y = \lambda$
  2. $L_y = x - \lambda = 0 \implies x = \lambda$
  3. $L_\lambda = -(x + y - 6) = 0 \implies x + y = 6$

Langkah 3: Substitusi

Karena $y = \lambda$ dan $x = \lambda$, maka $x = y$.

Masukan ke fungsi kendala: $x + x = 6 \implies 2x = 6 \implies x = 3$.

Maka $y = 3$.

Kesimpulan:

Nilai maksimum $z = (3)(3) = 9$.

Soal 2: Minimalisasi Biaya Sederhana

Minimumkan fungsi biaya $C = x^2 + y^2$ dengan kendala kuota produksi $x + y = 20$.

Soal 3: Utilitas Konsumen

Seorang konsumen memiliki fungsi utilitas $U = 5xy$. Harga barang X adalah Rp10 dan harga barang Y adalah Rp20. Anggaran konsumen tersebut adalah Rp400. Berapa unit X dan Y yang harus dibeli untuk memaksimumkan kepuasan?

Soal 4: Biaya Produksi Non-Linear

Sebuah perusahaan menghadapi fungsi biaya gabungan $C = 2x^2 + 3y^2$. Perusahaan wajib memproduksi total output sebanyak 35 unit gabungan dari barang x dan y. Tentukan kombinasi produksi biaya minimum.

Pertemuan 16

Ketentuan UAS

  1. UAS hanya boleh dikerjakan selama 75 menit.
  2. Soal UAS boleh dikerjakan dari 13:10-14:25.
  3. Setiap mahasiswa akan menerima soal masing-masing sesuai dengan NIM.
  4. Jawaban berupa file pdf dikirimkan pada link di bawah ini.

Daftar Hadir dan Nilai

Daftar Nilai

Loading...