ONMIPA-PT Wilayah Bidang Matematika Tahun 2024

Jika $I$ koleksi interval buka pada $\mathbb{R}$ dengan $I=$ $\left\lbrace I_n:I_n=\left(1,1+\frac{1}{n}\right),n\in\mathbb{N}\right\rbrace,$ maka $\bigcup_{I_n\in I}I_n=\cdots$ dan $\bigcap_{I_n\in I}I_n=\cdots$
Jawaban

Untuk setiap $n\in\mathbb{N},$ $f_n:[-1,1]$ $\to$ $\mathbb{R},$ dengan $f_n(x)=$ $\cos (n \arccos x),$ $x\in [-1,1].$ Untuk setiap dua bilangan asli $m$ dan $n,$ dengan $m\ne n,$ nilai $\displaystyle \int_{-1}^1\frac{f_n(x)f_m(x)}{\sqrt{1-x^2}}dx=\cdots$
Jawaban

Diberikan $G$ suatu grup siklis dengan order $2024$. Banyak elemen $G$ yang berorde ganjil adalah $\cdots$
Jawaban

Jika $a,$ $b,$ $c,$ dan $d$ merupakan bilangan bulat sehingga $f(x) =$ $x^4+$ $ax^3+$ $bx^2+$ $cx+$ $d$ mempunyai akar $\sqrt{3}-\sqrt{5}$ maka nilai $a +$ $b +$ $c +$ $d$ adalah $\cdots$
Jawaban

Dalam sebuah kotak terdapat kelereng berwarna biru, hijau, merah, kuning, dan abu-abu dengan masing-masing warna terdapat $9$ kelereng. Banyak cara mengambil $9$ kelereng dari kotak sehingga setiap warna paling sedikit terambil satu kali adalah $\cdots $
Jawaban

Misalkan $a$ dan $b$ bilangan real positif yang memenuhi $\sqrt{b}<$ $a<$ $2\sqrt{b}.$ Barisan bilangan real $(x_n)$ didefinisikan dengan $x_0\ge 0$ dan $x_n=$ $\frac{ax_{n-1}+b}{x_{n-1}+a},$ $\forall n$ $\in \mathbb{N}.$ Apakah $\lim\limits_{n\to\infty}x_n$ ada? Jika ya, tentukan nilai limitnya.
Jawaban

Diberikan fungsi kontinu $f:[a,b]\to\mathbb{R}$ dengan sifat untuk setiap $x\in$ $[a,b],$ terdapat $p\in [a,b]$ dengan $|f(p)|\le$ $\frac{2023}{2024}|f(x)|.$ Buktikan terdapat $c\in $ $[a,b],$ dengan $f(c)=0.$
Jawaban

Diketahui $\mathcal{R}=$ $\mathbb{Z}_{1013}\times\mathbb{Z}_{1013}$ merupakan ring terhadap operasi penjumlahan dan perkalian berikut:$$\begin{array}{ll}(a,b)+(c,d)&=((a+c)\text{ mod }1013,(b+d)\text{ mod }1013),\\(a,b)\cdot(c,d)&=(ac\text{ mod }1013,(ad+bc+bd)\text{ mod }1013),\end{array}$$ untuk setiap $(a,b),$ $(c,d)$ $\in\mathcal{R}.$ Buktikan terdapat tepat sebanyak $2024$ elemen taknol di $\mathcal{R}$ yang merupakan pembagi nol. (Catatan: $1013$ merupakan bilangan prima.)
Jawaban

Suatu grup hingga $(G,\star)$ berorde $n$ dikatakan rapi jika terdapat $n$ unsur berbeda $g_1\cdot$ $g_2\cdot$ $g_3\cdots g_n$ dari $G$ sehingga $G=$ $\lbrace g_1\star g_2,$ $g_2\star g_3,$ $\cdots,$ $g_{n-1}\star g_n,$ $g_n\star g_1 \rbrace.$

1. Tunjukkan bahwa $(\mathbb{Z}_7,+)$ rapi
2. Buktikan bahwa untuk setiap $n$ genap, $(\mathbb{Z}_n,+)$ tidak rapi

Jawaban

Tunjukkan bahwa jika $n + 1$ bilangan bulat berbeda diambil dari himpunan $\lbrace$ $1,$ $2,$ $\cdots,$ $kn$ $\rbrace,$ maka selalu ada dua bilangan bulat yang selisihnya paling banyak $k-1.$
Jawaban

Diberikan bilangan real $C\le 2.$ Buktikan bahwa untuk setiap bilangan real positif $x,y$ dengan $xy=1,$ berlaku ketaksamaan $$\begin{align*}\sqrt{\frac{x^2+y^2}{2}}+\frac{C}{x+y}\end{align*}\ge 1+\frac{C}{2}.$$
Jawaban

Diberikan sebuah papan berukuran $n\times n$ yang terbagi menjadi petak-petak berukuran $1\times 1$ yang semuanya berwarna putih. Aqua memilih beberapa buah petak dari papan ini dan mewarnainya dengan warna hitam. Ruby kemudian meletakkan tepat satu buah domino berukuran $1\times 2$ di papan, sehingga domino tersebut tepat menutupi dua buah petak di papan. Ruby dapat memutar domino tersebut menjadi domino $2\times 1.$ Setelah Aqua mewarnai, ternyata ada tepat $2024$ cara bagi Ruby untuk meletakkan sebuah domino di papan sehingga domino tersebut menutupi tepat $1$ petak hitam dan $1$ petak putih. Tentukan nilai $n$ terkecil yang mungkin agar Aqua dan Ruby dapat melakukan hal ini.
Jawaban

xxxxx
Jawaban

xxxxx
Jawaban

xxxxx
Jawaban