Kemampuan Dasar
Pada gambar di bawah ini sebuah persegi panjang dibagi dua menjadi dua buah persegi yang panjang sisinya $6$ cm. Luas total dari daerah yang diarsir adalah .... cm².
Pada suatu lingkaran dengan jari-jari \( r \), terdapat segiempat talibusur \( ABCD \) dengan \( AB = 8 \) dan \( CD = 5 \). Sisi \( AB \) dan \( DC \) diperpanjang dan berpotongan di luar lingkaran di titik \( P \). Jika \( \angle APD = 60^\circ \) dan \( BP = 6 \), maka nilai \( r^2 \) adalah ....
Bilangan $1, 2,$ $..., 999$ digit-digitnya disusun membentuk angka baru \( m \) dengan menuliskan semua digit bilangan-bilangan tadi dari kiri ke kanan. Jadi, \( m = 123 \ldots 91011 \ldots 999 \). Hasil penjumlahan digit ke $2021, 2022,$ $2023$ dari \( m \) adalah ....
Diketahui ada enam pasang suami istri. Dari keenam pasangan tersebut akan dipilih enam orang secara acak. Banyaknya cara untuk memilih enam orang tersebut sehingga paling banyak terdapat sepasang suami istri adalah ....
Diketahui segitiga \( ABC \) dengan \( AB > AC \). Garis bagi sudut \( \angle BAC \) memotong sisi \( BC \) di titik \( D \). Titik \( E \) dan \( F \) berturut-turut terletak pada sisi \( AC \) dan \( AB \) sehingga \( DE \parallel AB \) dan \( DF \parallel AC \). Lingkaran luar segitiga \( BCE \) memotong sisi \( AB \) di titik \( K \). Jika luas segitiga \( CDE \) adalah $75$ dan luas segitiga \( DEF \) adalah $85$, maka luas segiempat \( DEKF \) adalah ....
Kemampuan Lanjut
Jika \( a > 1 \) suatu bilangan asli sehingga hasil penjumlahan semua bilangan real \( x \) yang memenuhi persamaan \( \lfloor x\rfloor^2 - 2ax\)\( + a = 0 \) adalah $51,$ maka \( a \) adalah .... (Catatan: \( \lfloor x\rfloor \) menyatakan bilangan bulat terbesar yang tidak lebih dari \( x \))
Misalkan \( \{ x \} = x - \lfloor x \rfloor \).
Maka persamaan di atas menjadi:
\[ (x - \{ x \})^2 - 2a(x - \{ x \}) - 2ax + a = 0 \]Menguraikan ekspresi:
\[ x^2 + \{ x \}^2 - 2\{ x \}x - 2ax + a = 0 \]Meninjau diskriminan dari persamaan kuadrat di atas:
\[ D = (-2\{ x \} - 2a)^2 - 4(1)(a + \{ x \}^2) \] \[ = 4\{ x \}^2 + 8a\{ x \} + 4a^2 - 4a - 4\{ x \}^2 \] \[ = 4a^2 - 4a + 8a\{ x \} \] \[ = 4a(a - 1) + 8a\{ x \} \]Karena \( a \in \mathbb{Z}^+ \), maka \( D > 0 \).
Selanjutnya, kita gunakan sifat jumlah akar:
\[ 51 = x_1 + x_2 = 2\{ x \} + 2a \] \[ \frac{51}{2} = \{ x \} + a \]Karena \( 0 \leq \{ x \} < 1 \), maka solusi yang memungkinkan adalah:
\[ a = 25 \]Diketahui bilangan real \( a, b \), dan \( c \) memenuhi ketaksamaan \( |ax^2 + bx + c| \leq 1 \) untuk setiap \( x \in \mathbb{R} \) dengan \( 0 \leq x \leq 1 \). Nilai maksimal yang mungkin dari \( 21a + 20b + 19c \) adalah ....
Substitusi \( x = 0 \) akan didapat:
\[ |c| \leq 1 \Rightarrow -1 \leq c \leq 1. \]Substitusi \( x = \frac{1}{2} \) akan didapat:
\[ |\frac{1}{4}a + \frac{1}{2}b + c| \leq 1 \Rightarrow -4 \leq -a -2b -4c \leq 4. \]Substitusi \( x = 1 \) akan didapat:
\[ |a + b + c| \leq 1 \Rightarrow -22 \leq 22a + 22b + 22c \leq 22. \]Dari batasan yang diperoleh:
\[ -27 \leq 21a + 20b + 19c \leq 27. \]Jadi, kesimpulan akhirnya:
\[ \boxed{ -27 \leq 21a + 20b + 19c \leq 27. } \]Diberikan \( x, y \), dan \( n \) bilangan-bilangan asli yang memenuhi \( x^2 + (y + 2)x +\)\( (n + 1)y = n^2 +\)\( 252 \). Nilai \( y \) terbesar yang mungkin adalah ....
Diketahui persamaan:
\[ x^2 + (y+2)x + (n+1)y = n^2 - 252 \]Mengubah bentuk:
\[ x^2 + 2x + xy + ny + y - n^2 - 252 = 0 \] \[ (x+1)^2+(x+1)y + ny - n^2 - 253 = 0 \]Maka:
\[ x_{1,2}+1 = \frac{-y \pm \sqrt{y^2 - 4(1)(ny - n^2 - 252)}}{2} \]Karena \( x \in \mathbb{Z}^+ \), maka:
\[ k^2 = y^2 - 4ny + 4n^2 + 1012 \] \[ k^2 = (y - 2n)^2 + 1012 \]Faktorisasi:
\[ (k + y - 2n)(k - y + 2n) = 1012 \]Karena \( k + y - 2n \) dan \( k - y + 2n \) berparitas sama, maka:
\[ k + y - 2n = 504, \quad k - y + 2n = 2 \]atau
\[ k + y - 2n = 96, \quad k - y + 2n = 22 \]Menyelesaikan sistem:
\[ 2k = 506 \Rightarrow k = 253 \]Sehingga:
\[ x_{1,2}+1 = \frac{-y \pm 253}{2} \] \[ - y=2x_{1,2}+2\pm 253 \] \[ - y \leq \pm 251 \]Maka nilai terbesar $y$ yang memenuhi adalah \( 250 \).
Jika dua digit terakhir dari \( a^{777} \) adalah $77,$ maka dua digit terakhir dari \( a \) adalah ....
Bilangan asli ganjil \( b \) terbesar sehingga barisan bilangan asli \( a_n = n^2 +\)\( 19n + b \) memenuhi \(\text{FPB}(a_n, a_{n+1}) = \)\(\text{FPB}(a_{n+2}, a_{n+1})\) untuk setiap bilangan asli \( n \) adalah ....
Banyaknya fungsi (pemetaan) dari \( A = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\} \) ke \( B = \{7, 8, 9, 10\} \) dengan syarat $7$ dan $8$ mempunyai prapeta, yaitu ada \( x \) dan \( y \) di \( A \) sehingga \( f(x) = 7 \) dan \( f(y) = 8 \) adalah ...
Banyaknya barisan ternary (suku-sukunya 0, 1, atau 2) yang memuat 13 suku, memuat tepat empat 0, dan setiap di antara dua 0 ada paling sedikit dua suku bukan 0 adalah ...
Sebuah papan catur berukuran \( 101 \times 21 \) akan dipasangi beberapa ubin berukuran \( 3 \times 1 \). Berapa ubin terbanyak yang bisa dipasang pada papan sehingga tidak ada dua ubin yang bertumpuk atau bersentuhan (bersentuhan pada titik sudut ubin juga tidak diperbolehkan)?
Diberikan segitiga \( ABC \) dengan \( AB = 6 \), \( BC = 7 \), dan \( CA = 8 \). Jika \( I \) adalah titik potong ketiga garis bagi segitiga \( ABC \), maka \( AI^2 \) adalah ...
Diberikan segitiga siku-siku \( ABC \), dengan \( \angle C = 90^\circ \). Titik \( D \) terletak pada sisi \( AB \) dan \( E \) pada sisi \( AC \) sehingga garis \( DE \) sejajar dengan garis \( BC \). Diketahui tiga setengah lingkaran berwarna biru, merah, dan hijau sedemikian sehingga setengah lingkaran biru menyinggung \( AC \) dan \( AB \), setengah lingkaran merah menyinggung sisi \( AB \) dan garis \( DE \), dan setengah lingkaran hijau menyinggung setengah lingkaran biru dan garis \( DE \) (perhatikan gambar berikut).
Jika \( 2AC + 5BC = 5AB \), maka perbandingan panjang jari-jari setengah lingkaran merah dengan jari-jari setengah lingkaran hijau adalah \( k : 25 \). Nilai \( k \) adalah ...