OSK Matematika SMA Tahun 2022

$201$
Kita cari invers dari $f(x)=a^2x+$ $200$ melalui $$\begin{array}{rl}y&=a^2x+200\\y-200&=a^2x\\\frac{y-200}{a^2}&=x\\f^{-1}(x)&=\frac{x-200}{a^2}\end{array}$$ Perhatikan bahwa $$\begin{array}{rl}f(20)-f(22)&=f^{-1}(20)-f^{-1}(22)\\a^2(20)+200-(a^2(22)+200)&=\frac{20-200}{a^2}-\frac{22-200}{a^2}\\-2a^2&=\frac{-2}{a^2}\\a^2&=1\end{array}$$ Jadi $f(1)=1(1)+$$200=201.$

$113$

1. Menentukan Jumlah Bilangan yang Habis Dibagi 12:
- Bilangan terkecil ≥ 1001 yang habis dibagi 12 adalah 1008.
- Bilangan terbesar ≤ 2022 yang habis dibagi 12 adalah 2016.
- Jumlah bilangan yang habis dibagi 12 adalah: \[ \frac{2016 - 1008}{12} + 1 = \frac{1008}{12} + 1 = 84 + 1 = 85 \]

2. Menentukan Jumlah Bilangan yang Habis Dibagi 18:
- Bilangan terkecil ≥ 1001 yang habis dibagi 18 adalah 1008.
- Bilangan terbesar ≤ 2022 yang habis dibagi 18 adalah 2016.
- Jumlah bilangan yang habis dibagi 18 adalah: \[ \frac{2016 - 1008}{18} + 1 = \frac{1008}{18} + 1 = 56 + 1 = 57 \]

3. Menentukan Jumlah Bilangan yang Habis Dibagi 12 dan 18 (KPK dari 12 dan 18 adalah 36):
- Bilangan terkecil ≥ 1001 yang habis dibagi 36 adalah 1008.
- Bilangan terbesar ≤ 2022 yang habis dibagi 36 adalah 2016.
- Jumlah bilangan yang habis dibagi 36 adalah: \[ \frac{2016 - 1008}{36} + 1 = \frac{1008}{36} + 1 = 28 + 1 = 29 \]

4. Menghitung Total Bilangan yang Habis Dibagi 12 atau 18:
- Menggunakan prinsip inklusi-eksklusi: \[ \text{Total} = (\text{Jumlah habis dibagi 12}) + (\text{Jumlah habis dibagi 18}) - (\text{Jumlah habis dibagi 36}) \] \[ \text{Total} = 85 + 57 - 29 = 113 \]

Jadi, banyaknya bilangan bulat dari 1001 sampai dengan 2022 yang habis dibagi 12 atau 18 adalah:

\[ \boxed{113} \]

$30$

1. Menggambar Segitiga:
- Segitiga \( ABC \) siku-siku di \( B \).
- Titik \( D \) berada pada sisi \( AB \) dengan \( AD = 18 \) dan \( DB = 3 \), sehingga \( AB = AD + DB = 18 + 3 = 21 \).
- Titik \( E \) berada pada sisi \( AC \) dan \( DE \) sejajar dengan \( BC \).

2. Menggunakan Kesebangunan Segitiga:
- Karena \( DE \parallel BC \), segitiga \( ADE \) sebangun dengan segitiga \( ABC \).
- Perbandingan sisi-sisi yang bersesuaian adalah sama: \[ \frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC} \]

3. Menghitung Panjang \( AC \):
- Kita tahu \( AB = 21 \) dan \( BC = 28 \).
- Menggunakan teorema Pythagoras pada segitiga \( ABC \): \[ AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{21^2 + 28^2} = \sqrt{441 + 784} = \sqrt{1225} = 35 \]

4. Menghitung Panjang \( AE \):
- Dari kesebangunan segitiga: \[ \frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC} \Rightarrow \frac{18}{21} = \frac{AE}{35} \] \[ \frac{6}{7} = \frac{AE}{35} \Rightarrow AE = 35 \times \frac{6}{7} = 30 \]

Jadi, panjang \( AE \) adalah:

\[ \boxed{30} \]

$66$

1. Kasus 1: \(x \geq 0\) dan \(y \geq 0\)
- Persamaan menjadi: \[ x + y + (x + y) = 22 \Rightarrow 2x + 2y = 22 \Rightarrow x + y = 11 \] - Jumlah solusi non-negatif untuk \(x + y = 11\) adalah \(12\) (dari \((0,11)\) sampai \((11,0)\)).

2. Kasus 2: \(x \geq 0\) dan \(y < 0\)
- Persamaan menjadi: \[ x - y + |x + y| = 22 \] - Subkasus 2a: \(x + y \geq 0\) \[ x - y + x + y = 22 \Rightarrow 2x = 22 \Rightarrow x = 11 \] - \(y\) dapat bernilai dari \(-11\) sampai \(-1\), total \(11\) solusi. - Subkasus 2b: \(x + y < 0\) \[ x - y - (x + y) = 22 \Rightarrow -2y = 22 \Rightarrow y = -11 \] - \(x\) dapat bernilai dari \(0\) sampai \(10\), total \(11\) solusi.

3. Kasus 3: \(x < 0\) dan \(y \geq 0\)
- Mirip dengan Kasus 2, kita dapatkan \(11\) solusi untuk \(y = 11\) dan \(11\) solusi untuk \(x = -11\).

4. Kasus 4: \(x < 0\) dan \(y < 0\)
- Persamaan menjadi: \[ -x - y - (x + y) = 22 \Rightarrow -2x - 2y = 22 \Rightarrow x + y = -11 \] - Jumlah solusi non-positif untuk \(x + y = -11\) adalah \(10\) (dari \((-11,-1)\) sampai \((-1,-11)\)).

5. Total Solusi:
- Kasus 1: \(12\) solusi.
- Kasus 2: \(22\) solusi.
- Kasus 3: \(22\) solusi.
- Kasus 4: \(10\) solusi.
- Total: \(12 + 22 + 22 + 10 = 66\) solusi.

Jadi, banyaknya pasangan bilangan bulat \((x, y)\) yang memenuhi persamaan tersebut adalah:

\[ \boxed{66} \]

$17$

1. Hitung \( P(1) \): \[ P(1) = 1^{2023} + 1^{1012} + 1^{506} + 1^{253} + 1^{127} = 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 5 \]
2. Hitung \( P(-1) \): \[ P(-1) = (-1)^{2023} + (-1)^{1012} + (-1)^{506} + (-1)^{253} + (-1)^{127} = -1 + 1 + 1 + (-1) + (-1) = -1 \]
3. Karena pembagi adalah \( x^2 - 1 \), sisa pembagian akan berbentuk \( Ax + B \). Dengan menggunakan hasil dari \( P(1) \) dan \( P(-1) \), kita dapat menyusun sistem persamaan: \[ A(1) + B = 5 \quad \text{(1)} \] \[ A(-1) + B = -1 \quad \text{(2)} \]
4. Selesaikan sistem persamaan:
   • Dari persamaan (1): \( A + B = 5 \)
   • Dari persamaan (2): \( -A + B = -1 \)
   • Kurangkan persamaan (2) dari persamaan (1): \[ (A + B) - (-A + B) = 5 - (-1) \Rightarrow 2A = 6 \Rightarrow A = 3 \]
   • Substitusi \( A = 3 \) ke persamaan (1): \[ 3 + B = 5 \Rightarrow B = 2 \]
5. Jadi, sisa pembagian adalah \( 3x + 2 \). Nilai dari \( 3A + 4B \) adalah: \[ 3(3) + 4(2) = 9 + 8 = 17 \]

\[ \boxed{17} \]

$1024$

1. Pola Pengulangan:
   • Papan 3 × 20 dapat dianggap sebagai pengulangan dari papan 3 × 2. Setiap papan 3 × 2 dapat ditutupi oleh dua tromino L.
   • Karena papan 3 × 20 terdiri dari 10 papan 3 × 2, kita perlu menghitung banyaknya cara menutupi setiap papan 3 × 2 dan kemudian mengalikannya.
2. Banyaknya Cara untuk Setiap Papan 3 × 2:
   • Setiap papan 3 × 2 dapat ditutupi oleh dua tromino L dengan dua cara yang berbeda.
   • Oleh karena itu, untuk setiap papan 3 × 2, ada 2 cara penutupan.
3. Total Banyaknya Cara:
   • Karena ada 10 papan 3 × 2 dan setiap papan dapat ditutupi dengan 2 cara, total banyaknya cara adalah \(2^{10}\).
   • \(2^{10} = 1024\).

\[ \boxed{1024} \]

$121$

Misalkan $BC=2a.$ Maka $AB=\dfrac{3}{2}BC=$ $3a.$ Akibatnya $$\begin{array}{rl}AC=\sqrt{(3a)^2+(2a)^2}=\sqrt{13}a\end{array}$$ Menggunakan teorema Power of Point pada segiempat siklik $ABDE$ kita punya $$\begin{array}{rl}CE\cdot AC&=CD\cdot BC\\CE\cdot \sqrt{13}a&=a\cdot 2a\\CE&=\dfrac{2}{\sqrt{13}}a\end{array}$$ Selanjutnya perhatikan bahwa $\triangle AFE\sim\triangle EDC$ sehingga $$\begin{array}{rl}\dfrac{\left[DEC\right]}{\left[AFE\right]}&=\left(\dfrac{DC}{AE}\right)^2\\&=\left(\dfrac{a}{\sqrt{13}a-\frac{2}{\sqrt{13}}a}\right)^2\\\dfrac{13}{\left[AFE\right]}&=\left(\dfrac{1}{\frac{11}{\sqrt{13}}}\right)^2\\\left[AFE\right]&=121\end{array}$$

Jadi luas $AFE$ adalah $$\boxed{121}$$

$8$

1. Menghitung Beberapa Suku Pertama:
   • \( a_1 = 4 \)
   • \( a_2 = (S(a_1))^2 - 1 = (4)^2 - 1 = 16 - 1 = 15 \)
   • \( a_3 = (S(a_2))^2 - 1 = (1 + 5)^2 - 1 = 6^2 - 1 = 36 - 1 = 35 \)
   • \( a_4 = (S(a_3))^2 - 1 = (3 + 5)^2 - 1 = 8^2 - 1 = 64 - 1 = 63 \)
   • \( a_5 = (S(a_4))^2 - 1 = (6 + 3)^2 - 1 = 9^2 - 1 = 81 - 1 = 80 \)
   • \( a_6 = (S(a_5))^2 - 1 = (8 + 0)^2 - 1 = 8^2 - 1 = 64 - 1 = 63 \)
   • \( a_7 = (S(a_6))^2 - 1 = (6 + 3)^2 - 1 = 9^2 - 1 = 81 - 1 = 80 \)
2. Mengidentifikasi Pola:
   • Dari perhitungan di atas, kita dapat melihat bahwa mulai dari \( a_4 \), barisan tersebut berulang setiap 2 suku: 63, 80, 63, 80, ...
3. Menghitung Jumlah 2022 Suku Pertama:
   • Suku pertama: \( a_1 = 4 \)
   • Suku kedua: \( a_2 = 15 \)
   • Suku ketiga: \( a_3 = 35 \)
   • Suku keempat hingga 2022: pola berulang 63, 80
   • Jumlah suku keempat hingga 2022 adalah 2019 suku, yang terdiri dari 1009 pasang (63, 80) dan satu suku tambahan 63.
   • Jumlah setiap pasang: \( 63 + 80 = 143 \)
   • Total jumlah suku keempat hingga 2022: \( 1009 \times 143 + 63 = 144,287 + 63 = 144,350 \)
4. Total Jumlah 2022 Suku Pertama:
   • \( a_1 + a_2 + a_3 + \cdots + a_{2022} = 4 + 15 + 35 + 144,350 = 144,404 \)
5. Menghitung Sisa Pembagian oleh 21:
   • \( 144,404 \mod 21 \)
   • \( 144,404 \div 21 = 6,876 \) dengan sisa 12

\[ \boxed{12} \]

$200$

1. Kuadratkan Kedua Sisi: \[ (x + 200)^2 \leq x^2 - y^2 + 400(x + y) \] \[ x^2 + 400x + 40000 \leq x^2 - y^2 + 400x + 400y \]
2. Sederhanakan Pertidaksamaan: \[ 40000 \leq -y^2 + 400y \] \[ y^2 - 400y + 40000 \leq 0 \]
3. Selesaikan Persamaan Kuadrat: \[ y^2 - 400y + 40000 = 0 \] Menggunakan rumus kuadrat: \[ y = \frac{400 \pm \sqrt{400^2 - 4 \cdot 1 \cdot 40000}}{2} \] \[ y = \frac{400 \pm \sqrt{160000 - 160000}}{2} \] \[ y = \frac{400 \pm 0}{2} = 200 \]
4. Analisis Pertidaksamaan: Karena persamaan kuadrat \( y^2 - 400y + 40000 = 0 \) memiliki akar ganda di \( y = 200 \), pertidaksamaan \( y^2 - 400y + 40000 \leq 0 \) hanya terpenuhi ketika \( y = 200 \).
5. Verifikasi Kondisi Awal:
   • \( x > y > 0 \)
   • Substitusi \( y = 200 \) ke dalam pertidaksamaan asli untuk memastikan bahwa kondisi ini terpenuhi.

\[ \boxed{200} \]

$7$

Karena \( x^2 + 42x \) adalah pangkat tiga dari bilangan prima, maka \( x \) harus merupakan bilangan prima.

Akibatnya, kita memiliki persamaan:

\[ x^2 + 42x = x^3 \]

Menyusun ulang persamaan:

\[ 0 = x^3 - x^2 - 42x \] \[ 0 = x(x - 7)(x + 6) \]

Karena \( x \) adalah bilangan prima, maka satu-satunya solusi adalah:

\[ x = 7 \]

Jadi, nilai \( x \) adalah \[ \boxed{7} .\]

$60$

1. Menentukan Kursi untuk Azka dan Budi:
   • Baris pertama memiliki 3 kursi.
   • Azka dan Budi harus duduk di baris pertama, sehingga kita perlu memilih 2 kursi dari 3 kursi untuk mereka.
   • Banyaknya cara memilih 2 kursi dari 3 adalah \( \binom{3}{2} = 3 \).
   • Azka dan Budi dapat bertukar tempat, sehingga ada \( 2! = 2 \) cara untuk menempatkan mereka di kursi yang dipilih.
   • Total cara menempatkan Azka dan Budi di baris pertama adalah \( 3 \times 2 = 6 \).
2. Menempatkan Siswa Lainnya:
   • Setelah Azka dan Budi ditempatkan, tersisa 10 siswa untuk ditempatkan di 10 kursi yang tersisa.
   • Banyaknya cara menempatkan 10 siswa di 10 kursi adalah \( 10! \).
3. Total Banyaknya Cara \( A \):
   • Total cara menempatkan Azka dan Budi di baris pertama dan siswa lainnya adalah \( 6 \times 10! \).
4. Menghitung \( \frac{A}{9!} \):
   • \( A = 6 \times 10! \)
   • \( \frac{A}{9!} = \frac{6 \times 10!}{9!} = 6 \times 10 = 60 \)

Jadi $\dfrac{A}{9!}=$ $$\boxed{60}.$$

$18$

1. Properti Segitiga Siku-Siku:
   • Pada segitiga siku-siku, panjang sisi miring (\( c \)) adalah diameter lingkaran luar. Oleh karena itu, jari-jari lingkaran luar (\( R \)) adalah setengah dari panjang sisi miring: \[ R = \frac{c}{2} \]
2. Luas Segitiga:
   • Luas segitiga siku-siku dapat dihitung sebagai: \[ \text{Luas} = \frac{1}{2} \times a \times b = 63 \] Di mana \( a \) dan \( b \) adalah panjang sisi-sisi yang membentuk sudut siku-siku.
3. Jari-Jari Lingkaran Dalam (\( r \)):
   • Jari-jari lingkaran dalam segitiga siku-siku dapat dihitung sebagai: \[ r = \frac{a + b - c}{2} \]
4. Diketahui \( R + r = 12 \):
   • Substitusi \( R = \frac{c}{2} \) dan \( r = \frac{a + b - c}{2} \) ke dalam persamaan: \[ \frac{c}{2} + \frac{a + b - c}{2} = 12 \] \[ \frac{c + a + b - c}{2} = 12 \] \[ \frac{a + b}{2} = 12 \] \[ a + b = 24 \]
5. Menggunakan Teorema Pythagoras:
   • Pada segitiga siku-siku, berlaku: \[ a^2 + b^2 = c^2 \]
6. Menyelesaikan Sistem Persamaan:
   • Dari luas segitiga: \[ \frac{1}{2} \times a \times b = 63 \implies a \times b = 126 \]
   • Dari \( a + b = 24 \) dan \( a \times b = 126 \), kita dapat menyelesaikan persamaan kuadrat: \[ t^2 - 24t + 126 = 0 \] Menggunakan rumus kuadrat: \[ t = 12 \pm 3\sqrt{2} \] Jadi, \( a = 12 + 3\sqrt{2} \) dan \( b = 12 - 3\sqrt{2} \).
7. Menghitung Panjang Sisi Miring (\( c \)):
   • Menggunakan Teorema Pythagoras: \[ c^2 = a^2 + b^2 = (12 + 3\sqrt{2})^2 + (12 - 3\sqrt{2})^2 = 288 + 36 = 324 \] \[ c = \sqrt{324} = 18 \]

Jadi panjang sisi miring $ABC$ adalah $$\boxed{18}$$

$117$

1. Memisahkan Deret:
\[ \sum_{k=1}^{\infty} \frac{2k + B}{3^{k+1}} = \sum_{k=1}^{\infty} \frac{2k}{3^{k+1}} + \sum_{k=1}^{\infty} \frac{B}{3^{k+1}} \]

2. Menghitung \(\sum_{k=1}^{\infty} \frac{2k}{3^{k+1}}\):
\[ \sum_{k=1}^{\infty} \frac{2k}{3^{k+1}} = \frac{2}{3} \sum_{k=1}^{\infty} \frac{k}{3^k} = \frac{2}{3} \times \frac{3}{4} = \frac{1}{2} \]

3. Menghitung \(\sum_{k=1}^{\infty} \frac{B}{3^{k+1}}\):
\[ \sum_{k=1}^{\infty} \frac{B}{3^{k+1}} = B \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{3^{k+1}} = B \times \frac{1}{6} = \frac{B}{6} \]

4. Menyusun Persamaan:
\[ \frac{1}{2} + \frac{B}{6} = 20 \] \[ \frac{B}{6} = 20 - \frac{1}{2} = \frac{39}{2} \] \[ B = \frac{39}{2} \times 6 = 117 \]

Jadi, nilai \( B \) adalah:

\[ \boxed{117} \]

$357$

1. Mengubah Variabel:
- Substitusi \(w_i = 20 + x_i\), di mana \(0 \leq x_i \leq 2\).
- Persamaan menjadi: \[ x_1 + x_2 + \cdots + x_7 = 8 \]

2. Menghitung Banyaknya Solusi:
- Tanpa batasan, jumlah solusi adalah \(\binom{14}{6}\).
- Mengurangkan solusi di mana satu atau lebih \(x_i \geq 3\).

3. Menggunakan Prinsip Inklusi-Eksklusi:
- Jumlah solusi tanpa batasan: \(\binom{14}{6}\).
- Jumlah solusi dengan setidaknya satu \(x_i \geq 3\): \(\binom{7}{1} \times \binom{11}{6}\).
- Jumlah solusi dengan setidaknya dua \(x_i \geq 3\): \(\binom{7}{2} \times \binom{8}{6}\).

4. Menghitung Kombinasi:
- \(\binom{14}{6} = 3003\).
- \(\binom{7}{1} \times \binom{11}{6} = 7 \times 462 = 3234\).
- \(\binom{7}{2} \times \binom{8}{6} = 21 \times 28 = 588\).

5. Menerapkan Prinsip Inklusi-Eksklusi:
- Total solusi yang valid: \[ \binom{14}{6} - \binom{7}{1} \times \binom{11}{6} + \binom{7}{2} \times \binom{8}{6} = 3003 - 3234 + 588 = 357 \]

Jadi, banyaknya tupel \((w_1, w_2, w_3, \cdots, w_7)\) yang memenuhi persamaan tersebut adalah:

\[ \boxed{357} \]

$60$

Misalkan $O$ adalah titik potong antara $BP$ dan $AL.$ Misalkan $BL=LC=$ $a.$ Kita dapat dengan mudah lihat bahwa $$\begin{array}{rl}\triangle ABL\sim\triangle ABO\sim\triangle OBL\end{array}$$ Maka kita punya $$\begin{array}{rl}BO=\frac{2a}{\sqrt{5}}\text{ dan }OL=\frac{a}{\sqrt{5}}\text{ dan }AO=\frac{4a}{\sqrt{5}}\end{array}$$ Selanjutnya perhatikan bahwa $AP=(2a-20)\sqrt{2}.$ Gunakan dalil Menelaos kita punya $$\begin{array}{rl}\dfrac{BL}{BC}\times\dfrac{CP}{PA}\times\dfrac{AO}{OL}&=1\\\dfrac{a}{2a}\cdot\dfrac{20\sqrt{2}}{(2a-20)\sqrt{2}}\cdot \dfrac{\frac{4a}{\sqrt{5}}}{\frac{a}{\sqrt{5}}}&=1\\40&=2a-20\\2a&=60\end{array}$$

Jadi panjang $BC$ adalah $$\boxed{60}.$$

$90$

1. Diketahui:
- \( \text{FPB}(m, n) = 3 \).
- \( \text{FPB}(2m, 5n) = 30 \).

2. Analisis \( \text{FPB}(m, n) = 3 \):
- Karena \( \text{FPB}(m, n) = 3 \), maka \( m \) dan \( n \) dapat ditulis sebagai: \[ m = 3a \quad \text{dan} \quad n = 3b, \] di mana \( \text{FPB}(a, b) = 1 \).

3. Substitusi ke \( \text{FPB}(2m, 5n) = 30 \):
- Substitusi \( m = 3a \) dan \( n = 3b \): \[ 2m = 2 \cdot 3a = 6a \quad \text{dan} \quad 5n = 5 \cdot 3b = 15b. \] - Maka: \[ \text{FPB}(6a, 15b) = 30. \] - Faktorisasi \( 6a \) dan \( 15b \): \[ 6a = 2 \cdot 3 \cdot a \quad \text{dan} \quad 15b = 3 \cdot 5 \cdot b. \] - Karena \( \text{FPB}(a, b) = 1 \), maka \( \text{FPB}(6a, 15b) \) hanya bergantung pada faktor bersama dari \( 6 \) dan \( 15 \), yaitu \( 3 \). - Namun, diketahui \( \text{FPB}(6a, 15b) = 30 \), sehingga: \[ \text{FPB}(6a, 15b) = 3 \cdot \text{FPB}(2a, 5b) = 30. \] \[ \text{FPB}(2a, 5b) = 10. \] - Karena \( \text{FPB}(a, b) = 1 \), maka \( \text{FPB}(2a, 5b) = 10 \) menunjukkan bahwa \( a \) dan \( b \) harus memiliki faktor 2 dan 5: \[ a = 5k \quad \text{dan} \quad b = 2l, \] di mana \( \text{FPB}(5k, 2l) = 1 \).

4. Menghitung \( \text{FPB}(15m, 6n) \):
- Substitusi \( m = 3a = 3 \cdot 5k = 15k \) dan \( n = 3b = 3 \cdot 2l = 6l \): \[ 15m = 15 \cdot 15k = 225k \quad \text{dan} \quad 6n = 6 \cdot 6l = 36l. \] - Maka: \[ \text{FPB}(15m, 6n) = \text{FPB}(225k, 36l). \] - Karena \( \text{FPB}(5k, 2l) = 1 \), maka: \[ \text{FPB}(225k, 36l) = 9 \cdot \text{FPB}(25k, 4l) = 9 \cdot 1 = 9. \]

Jawaban:
\[ \boxed{9} \]

$9$

1. Substitusi Variabel:
- Misalkan \( a = pc \) dan \( d = qb \), di mana \( p, q > 1 \).
- Substitusi ke persamaan awal: \[ 3a^2 + 3b^2 = 3(pc)^2 + 3b^2 = 3p^2c^2 + 3b^2 = k, \] \[ 3c^2 + 3d^2 = 3c^2 + 3(qb)^2 = 3c^2 + 3q^2b^2 = k, \] \[ 4ac + 4bd = 4(pc)c + 4(qb)b = 4pc^2 + 4qb^2 = k. \] - Sehingga kita memiliki sistem persamaan: \[ 3p^2c^2 + 3b^2 = k \quad \text{(1)}, \] \[ 3q^2b^2 + 3c^2 = k \quad \text{(2)}, \] \[ 4pc^2 + 4qb^2 = k \quad \text{(3)}. \]

2. Eliminasi Persamaan:
- Eliminasi persamaan (1) \(\times q^2\) dan persamaan (2): \[ (3p^2q^2c^2 + 3b^2q^2) - (3q^2b^2 + 3c^2) = k(q^2 - 1), \] \[ 3c^2(p^2q^2 - 1) = k(q^2 - 1), \] \[ c^2 = \frac{k(q^2 - 1)}{3(p^2q^2 - 1)}. \] - Eliminasi persamaan (2) \(\times p^2\) dan persamaan (1): \[ (3p^2q^2b^2 + 3p^2c^2) - (3p^2c^2 + 3b^2) = k(p^2 - 1), \] \[ 3b^2(p^2q^2 - 1) = k(p^2 - 1), \] \[ b^2 = \frac{k(p^2 - 1)}{3(p^2q^2 - 1)}. \]

3. Substitusi ke Persamaan (3):
- Substitusi \( c^2 \) dan \( b^2 \) ke persamaan (3): \[ 4pc^2 + 4qb^2 = k, \] \[ 4p \cdot \frac{k(q^2 - 1)}{3(p^2q^2 - 1)} + 4q \cdot \frac{k(p^2 - 1)}{3(p^2q^2 - 1)} = k, \] \[ \frac{4pk(q^2 - 1) + 4qk(p^2 - 1)}{3(p^2q^2 - 1)} = k, \] \[ \frac{4p(q^2 - 1) + 4q(p^2 - 1)}{3(p^2q^2 - 1)} = 1, \] \[ 4p(q^2 - 1) + 4q(p^2 - 1) = 3(p^2q^2 - 1). \] - Sederhanakan persamaan: \[ 4pq^2 - 4p + 4p^2q - 4q = 3p^2q^2 - 3, \] \[ 3p^2q^2 - 4p^2q - 4pq^2 + 4p + 4q - 3 = 0. \] - Faktorkan persamaan: \[ (pq - 1)(3pq - 4p - 4q + 3) = 0. \] - Karena \( pq > 1 \), maka: \[ 3pq - 4p - 4q + 3 = 0. \] - Selesaikan untuk \( \frac{p + q}{pq + 1} \): \[ 3pq - 4p - 4q + 3 = 0, \] \[ 3pq + 3 = 4p + 4q, \] \[ 3(pq + 1) = 4(p + q), \] \[ \frac{p + q}{pq + 1} = \frac{3}{4}. \]

4. Menghitung Nilai \( \frac{12(ab + cd)}{ad + bc} \):
- Substitusi \( a = pc \) dan \( d = qb \): \[ ab + cd = (pc)b + c(qb) = pcb + cqb = (p + q)cb, \] \[ ad + bc = (pc)(qb) + bc = pqbc + bc = (pq + 1)bc. \] - Maka: \[ \frac{12(ab + cd)}{ad + bc} = \frac{12(p + q)cb}{(pq + 1)bc} = 12 \cdot \frac{p + q}{pq + 1}. \] - Dari langkah sebelumnya, kita tahu \( \frac{p + q}{pq + 1} = \frac{3}{4} \), sehingga: \[ \frac{12(ab + cd)}{ad + bc} = 12 \cdot \frac{3}{4} = 9. \]

Jawaban:
\[ \boxed{9} \]

$560$

1. Kasus I: Banyaknya Digit 2 adalah 1.
- Pilih posisi untuk digit 2. Ada 6 kemungkinan posisi.
- Digit di sebelah kiri dan kanan digit 2 harus 1 dan 3 (atau sebaliknya), sehingga ada 2 kemungkinan.
- Digit lainnya bisa 1 atau 3, sehingga ada \( 2^5 = 32 \) kemungkinan.
- Total bilangan untuk kasus ini: \[ 6 \times 2 \times 32 = 384. \]

2. Kasus II: Banyaknya Digit 2 adalah 2.
- Subkasus I: Jarak antara dua digit 2 adalah 1.
- Pilih posisi untuk dua digit 2 yang berdekatan. Ada 4 kemungkinan posisi.
- Digit di sebelah kiri dan kanan dari dua digit 2 harus 1 dan 3 (atau sebaliknya), sehingga ada 2 kemungkinan.
- Digit lainnya bisa 1 atau 3, sehingga ada \( 2^3 = 16 \) kemungkinan.
- Total bilangan untuk subkasus ini: \[ 4 \times 2 \times 8 = 64. \] - Subkasus II: Jarak antara dua digit 2 lebih dari 1.
- Pilih posisi untuk dua digit 2 yang tidak berdekatan. Ada 6 kemungkinan posisi.
- Digit di sebelah kiri dan kanan dari setiap digit 2 harus 1 dan 3 (atau sebaliknya), sehingga ada 2 kemungkinan untuk setiap digit 2.
- Digit lainnya bisa 1 atau 3, sehingga ada \( 2^2 = 16 \) kemungkinan.
- Total bilangan untuk subkasus ini: \[ 6 \times 2 \times 2 \times 4 = 96. \] - Total bilangan untuk kasus II: \[ 64 + 96 = 160. \]

3. Kasus III: Banyaknya Digit 2 adalah 3.
- Subkasus I: Jarak antara setiap digit 2 adalah 1.
- Pilih posisi untuk tiga digit 2 yang berdekatan. Ada 2 kemungkinan posisi.
- Digit di sebelah kiri dan kanan dari tiga digit 2 harus 1 dan 3 (atau sebaliknya), sehingga ada 2 kemungkinan.
- Digit lainnya bisa 1 atau 3, sehingga ada \( 2^1 = 1 \) kemungkinan.
- Total bilangan untuk subkasus ini: \[ 2 \times 2 \times 2 = 8. \] - Subkasus II: Jarak antara dua digit 2 adalah 2 dan 1.
- Pilih posisi untuk tiga digit 2 dengan jarak 2 dan 1. Ada 1 kemungkinan posisi.
- Digit di sebelah kiri dan kanan dari setiap digit 2 harus 1 dan 3 (atau sebaliknya), sehingga ada 2 kemungkinan untuk setiap digit 2.
- Digit lainnya bisa 1 atau 3, sehingga ada \( 2^0 = 1 \) kemungkinan.
- Total bilangan untuk subkasus ini: \[ 1 \times 2 \times 2 \times 1 = 4. \] - Subkasus III: Jarak antara dua digit 2 adalah 1 dan 2.
- Pilih posisi untuk tiga digit 2 dengan jarak 1 dan 2. Ada 1 kemungkinan posisi.
- Digit di sebelah kiri dan kanan dari setiap digit 2 harus 1 dan 3 (atau sebaliknya), sehingga ada 2 kemungkinan untuk setiap digit 2.
- Digit lainnya bisa 1 atau 3, sehingga ada \( 2^0 = 1 \) kemungkinan.
- Total bilangan untuk subkasus ini: \[ 1 \times 2 \times 2 \times 1 = 4. \] - Total bilangan untuk kasus III: \[ 8 + 4 + 4 = 16. \]

4. Total Bilangan yang Memenuhi Kondisi:
- Jumlahkan total bilangan dari semua kasus: \[ 384 + 160 + 16 = 560. \]

Jawaban:
\[ \boxed{560} \]

$66^\circ$

Buat \( E' \) merupakan titik pencerminan dari \( E \) terhadap garis \( AC \).

Sehingga karena \( \angle DAE = 72^\circ \) dan \( \angle BAE = 12^\circ =\)\( \angle DAE' \), maka \( \angle EAE' = 60^\circ \).

Juga perhatikan karena \( AE = AE' \) maka jelas bahwa \( \triangle EAE' \) adalah segitiga sama sisi.

Perhatikan juga bahwa \( \angle DAC = 42^\circ \), maka \( \angle BDA = 48^\circ =\)\( 2\alpha + 12^\circ \Rightarrow\)\( \alpha = 18^\circ \).

Jadi, \( x = \angle CDE =\)\( \angle CDB + \angle BDE =\)\( 48^\circ + 18^\circ =\) \[\boxed{66^\circ} \]

$21$

Karena \((x - y) + \)\((y - z) + \)\((z - x) = 0\), maka tanpa mengurangi keumuman misal \(x - y > 0\), maka diperoleh penyelesaian sebagai berikut

\[ x - y = 2 \] \[ y - z = -1 \Rightarrow y = z - 1 \] \[ z - x = -1 \Rightarrow x = z + 1 \]

Substitusikan \(x = z + 1\) dan \(y = z - 1\) ke soal, sehingga diperoleh

\[ xy^2 + yz^2 + zx^2 - 22 = 3xyz \] \[ \Rightarrow (z + 1)(z - 1)^2 + (z - 1)z^2 + z(z + 1)^2 - 22 = 3(z + 1)(z - 1)z \] \[ \Leftrightarrow 3z^3 - 21 = 3z^3 - 3z \] \[ \Leftrightarrow 3z = 21 \] \[ \Leftrightarrow z = 7 \]

Jadi, nilai \(x + y +\)\( z = (z + 1) +\)\( (z - 1) + z\)\( = 3z = 3(7) =\)\[ \boxed{21}\]