OSK Matematika SMA Tahun 2023

$$\boxed{62}$$ Kita akan bagi menjadi 2 kasus yaitu ketika $x-$ $|2x+3|$ $=99$ atau $x-$ $|2x+3|$ $=-99.$
Kasus 1:
$$\begin{array}{rll}x-|2x+3|&=99\\x-99&=|2x+3|&\text{(kuadratkan)}\\x^2-198x+99^2&=4x^2+12x+9\\-3x^2-210x+9792&=0&\text{(bagi }-3)\\x^2+70x-3264&=0&(\text{TIDAK ADA memenuhi } x-99\ge 0)\end{array}$$Kasus 2:
$$\begin{array}{rll}x-|2x+3|&=-99\\x+99&=|2x+3|&(\text{kuadratkan})\\x^2+198x+99^2&=4x^2+12x+9\\-3x^2+186x+9792&=0&(\text{bagi }-3)\\x^2-62x-3264&=0\\(x-96)(x+34)&=0&(\text{memenuhi }x+99\ge 0)\end{array}$$

$$\boxed{1120}$$ Banyaknya cara pengambilan sepasang dari $7$ pasang adalah $\binom{7}{1}=7.$ Sedangkan cara pengambilan yang lain adalah $\dfrac{12\cdot 10\cdot 8}{3\cdot 2\cdot 1}=160.$ Sehingga banyaknya cara pengambilan sehingga diantara yang terambil terdapat tepat sepasang kaos kaki yang cocok (berpasangan) adalah $7\cdot 160=1120.$

$$\boxed{9}$$ Perhatikan gambar di atas. Pada gambar 1, misalkan $E$ dan $F$ masing-masing adalah titik tengah $CQ$ dan $PD.$ Sekarang potong $ABEF$ sehingga terbentuk segitiga seperti pada gambar 2. Maka jelas $$CE+FD=CD-EF=19-14=5.$$ Akibatnya $$\begin{array}{rcl}PQ&=&CD-(CE+FD+EQ+PF)\\&=&CD-2(CE+FD)\\&=&19-10\\&=&9\end{array}$$

$$\boxed{11}$$ Perhatikan bahwa $$\sqrt{7000}=\sqrt{70}\cdot \sqrt{100}=8,...\cdot 10.$$ Oleh karena kita dapatkan $$83^2=6889<\overline{7ab9}<8100=90^2.$$ Bilangan kuadrat diantara itu dengan satuan $9$ hanyalah $$87^2=7569.$$ Jadi $a+b=11.$

$$\boxed{41}$$ Misalkan $g(x)=$ $f(x)-$ $x^2.$ Maka $g(5)=$ $g(6)=0.$ Jadi $g(x)$ persamaan kuadrat dengan akar $5$ dan $6.$ Maka $$\begin{array}{rl}f(x)&=g(x)+x^2\\&=k(x-5)(x-6)+x^2\\&=(k+1)x^2-11kx+30k\end{array}.$$ Jadi $\dfrac{c-b}{a-1}=$ $\dfrac{30k-(-11k)}{k+1-1}=41.$

$$\boxed{20}$$ Dalam soal ini kita ingin memaksimalkan selisih yang mana artinya memaksimalkan gol $B$ dan meminimumkan gol $A.$ Maka jelas gol $A$ akan minimum jika hanya $A$ menang tipis dari $B$ pada $8$ pertandingan dan $B$ menang telak dari $A$ pada $7$ pertandingan lainnya.Jadi selisih maksimal gol $B$ dan $A$ adalah $(28+$ $24)-$ $32=20.$

$$\boxed{52}$$ Perhatikan gambar di atas. Kita tahu karena $E$ titik berat maka $DE:EG=$ $2:1.$ Sekarang misalkan $G$ dan $H$ masing-masing adalah titik tengah $AB$ dan $AC.$ Maka $DG$ akan melewati $E$ dan $DH$ akan melewati $F.$ Perhatikan bahwa $\triangle DGH\sim$ $\triangle DEF$ sehingga kita peroleh $$\begin{array}{rcl}\dfrac{\left[DGH\right]}{\left[DEF\right]}&=&\dfrac{3^2}{2^2}\\\left[DGH\right]&=&\frac{9}{4}\cdot 4\\&=&9\end{array}$$ Perhatikan bahwa $GH$ sejajar $BC$ dan misalkan tinggi $\triangle BDG$ adalah $t,$ maka $$\begin{array}{rcl}\dfrac{\left[DGH\right]}{\left[GHBC\right]}&=&\dfrac{\frac{1}{2}t\cdot GH}{\frac{1}{2}t\cdot (GH+2GH)}\\\left[GHBC\right]&=&3\left[DGH\right]\\&=&27\end{array}$$ Selanjutnya perhatikan bahwa $$\begin{array}{rcl}\dfrac{\left[AGH\right]}{\left[ABC\right]}&=&1/4\\\left[AGH\right]&=&\dfrac{1}{4}(\left[AGH\right]+\left[GHBC\right])\\\dfrac{3}{4}\left[AGH\right]&=&\dfrac{1}{4}\cdot 27\\\left[AGH\right]&=&9.\end{array}$$ Akibatnya $\left[ABC\right]=36.$ Gunakan rumus sinus untuk mencari luas. $$\begin{array}{rcl}\frac{1}{2}\sin A\cdot 12\cdot 10&=&36\\\sin A&=&\dfrac{6}{10}=\dfrac{3}{5}\end{array}$$ Maka nilai $\cos A=\dfrac{4}{5}.$ Jadi $$\begin{array}{rcl}BC^2&=&AB^2+AC^2-2AB\cdot AC\cdot \cos A\\&=&12^2+10^2-2\cdot 12\cdot 10\cdot \dfrac{4}{5}\\&=&144+100-192\\&=&52\end{array}$$

$$\boxed{50}$$ Perhatikan bahwa $$\begin{array}{rll}5^{2022}+11^{2022}&=(8-3)^{2022}+(8+3)^{2022}\\&=2\binom{2022}{0}8^{2022}+2\binom{2022}{2}8^{2020}3^2+\cdots+2\binom{2022}{2022}3^{2022}\end{array}.$$ Ketika dibagi dengan $64=8^2,$ maka hanya akan bersisa $$2\binom{2022}{2022}3^{2022}=2\cdot 3^{2022}.$$ Selanjutnya perhatikan bahwa $$\begin{array}{rll}2\cdot 3^{2022}&=(8+1)^{1011}\\&=2\binom{1011}{0}8^{1011}+2\binom{1011}{1}8^{1010}+\cdots+2\binom{1011}{1011}8^0\end{array}.$$ Jika dibagi $64$ maka akan bersisa $$2\binom{1011}{1010}8^1+2\binom{1011}{1011}8^0=16178=64\cdot 252+50$$

$$\boxed{11}$$ Misalkan $Q(x)=$ $P(x)-200,$ maka $Q(r_1)=$ $Q(r_2)=0.$ Maka kita dapat nyatakan $Q(x)=$ $(x^2+$ $x-$ $23)R(x)=$ $P(x)-$ $200.$ Maka $$\begin{array}{rll}P(x)&\equiv (x^2+x-23)R(x)+200(\text{mod }21)\\P(1)&\equiv (1+1-23)R(1)+200(\text{mod }21)\\&\equiv 200(\text{mod }21)\\&\equiv 11(\text{mod }21)\end{array}$$

$$\boxed{1056}$$ Kita dapat dengan mudah menghitung komplemennya yaitu bilangan empat digit kelipatan $3$ dan tidak memuat angka $6$ melalui isian slot di bawah ini. Ribuan ada $8$ kemungkinan kecuali $0$ dan $6.$ Sedangkan untuk ratusan dan puluhan adalah $9$ tanpa angka $6.$ Banyaknya pilihan satuan adalah $3$ yaitu $$\left\lbrace\begin{array}{rll}0,3,9&\text{ jika jumlah ketiga angka lainnya sisa 0}\\1,4,7&\text{ jika jumlah ketiga angka lainnya sisa 2}\\2,5,8&\text{ jika jumlah ketiga angka lainnya sisa 1}\end{array}\right.$$ Banyak seluruh kelipatan tiga berbentuk $4$ angka adalah $$\left\lfloor\dfrac{10000}{3}\right\rfloor-\left\lfloor\dfrac{1000}{3}\right\rfloor=3000.$$ Jadi banyaknya bilangan $4$ digit yang habis dibagi $3$ dan memuat angka $6$ adalah $3000-1944$ $=1056.$

$$\boxed{74}$$ Dari $CD=BC,$ maka kita bisa dapatkan $\angle CBD=\angle CDB.$ Sehingga berdasarkan sudut keliling $$\angle BAC=\angle BDC= \angle CBD= \angle CAD.$$ Perhatikan bahwa berdasarkan dalil garis bagi kita punya $$\begin{array}{rl}\dfrac{AB}{AD}&=\dfrac{BE}{ED}=\dfrac{7}{5}\end{array}$$ Karena $PA$ garis singgung maka $\triangle ABP\sim\triangle APD$ dan berlaku $$\begin{array}{rl}\dfrac{PA}{PB}=\dfrac{PD}{AP}=\dfrac{AD}{AB}.\end{array}$$ Dari perbandingan ini kita punya [teorema Power of Point] $AP^2=PD\cdot PB$ dan $\dfrac{PD}{AP}=\dfrac{5}{7}.$ Gabungkan dua fakta ini untuk mendapatkan $$\begin{array}{rl}\left(\dfrac{7}{5}PD\right)^2&=PD\cdot PB\\\dfrac{PD}{PB}&=\dfrac{25}{49}.\end{array}$$ Jadi $m+n=$ $25+49=$ $74.$

$$\boxed{48}$$ Perhatikan bahwa $$x^2-xy-5y+6=0.$$ Karena $x\in \mathbb{Z}^+$ maka $$\begin{array}{rll}a^2&=D\\&=y^2+20y-24\\&=(y+10)^2-124\\124&=(y+10-a)(y+10+a)\end{array}$$ Maka keduanya harus sama-sama genap. Jadi $$\begin{array}{rll}y+10+a&=62\\y+10-a&=2\end{array}$$ Eliminasi $2(y+10)=64$ maka $y=22$ dan $a=30.$ Sehingga $x=\dfrac{22+30}{2}$$=26.$ Jadi $x+y=$ $26+22=$ $48.$

$$\boxed{338}$$ Perhatikan bahwa $$a_{n+2}-a_{n+1}+a_n=\dfrac{n+1}{6}=\dfrac{n+2}{6}-\dfrac{n+1}{6}+\dfrac{n}{6}.$$ Misalkan $$b_n=a_n-\dfrac{n}{6}$$ maka kita akan punya $$b_{n+2}-b_{n+1}+b_n=0$$ dan $b_1=\dfrac{5}{6}$ dan $b_2=\dfrac{5}{3}.$ Hitung sendiri $b_3=\dfrac{5}{6},$ $b_4=\dfrac{-5}{6},$ $b_5=\dfrac{-5}{3},$ $b_6=\dfrac{-5}{6},$ $b_7=\dfrac{5}{6},$ dan $b_8=\dfrac{5}{3}.$ Sehingga kita temukan $b_n$ periodik dan mempunyai periode $6.$ Sehingga kita punya $b_{2023}=b_1$ $=\dfrac{5}{6}.$ Jadi $$a_{2023}=b_{2023}+\dfrac{2023}{6}=338.$$

$$\boxed{365}$$ Pertama anggaplah dua himpunan ini terurut $A$ dan $B.$ Perhatikan bahwa untuk setiap huruf ada tiga kemungkinan yaitu $$\left\lbrace\begin{array}{rl}&\text{muncul di }A\\&\text{muncul di }B\\&\text{muncul di }A\text{ dan }B\end{array}\right.$$ Maka ada $3^6$ kemungkinan. Namun $A=\lbrace a,$ $b,c,$ $d,e,$ $f\rbrace$ dan $B=\lbrace a,$ $b,c,$ $d,e,$ $f\rbrace$ dianggap sama. Sehingga totalnya adalah $$\dfrac{3^6-1}{2}+1=365.$$

$$\boxed{70}$$ Kalau kita perhatikan segitiga biru maka segitiga siku-siku $(28,7\sqrt{20},$ $42)$ maka kita akan dapat Phytagoras $$\begin{array}{rll}(R-7)^2-(t-7)^2&=(7\sqrt{20})^2\\(R-t)(R+t-14)&=49\cdot 20&\text{(karena }R+t=70)\\R-t&=\dfrac{35}{4}\end{array}$$ Akibatnya $$\begin{array}{rl}AB&=2\sqrt{R^2-t^2}\\&=\sqrt{(R+t)(R-t)}\\&=2\sqrt{70\cdot \dfrac{70}{4}}\\&=70\end{array}$$

$$\boxed{32}$$ Banyaknya faktor positif dari $n$ adalah $(a+1)$$(b+1).$ Bayangkan bahwa setiap faktor $g$ punya pasangan $h$ sehingga $gh=n.$ Karena ketika $n=k^2,$ $k$ tidak punya pasangan yang berbeda, maka perlu kita buat 2 kasus.
Kasus 1:
$n=k^2$ untuk suatu $k\in\mathbb{Z}^+$ Misalkan $$12^{90}=n^{\frac{(a+1)(b+1)-1}{2}}\cdot \sqrt{n}.$$ Karena $n$ bilangan kuadrat maka misalkan $a=2l$ dan $b=2m.$ Sehingga $$\begin{array}{rll}12^{90}&=\left(2^{2l}3^{2m}\right)^{\frac{(2l+1)(2m+1)-1}{2}}\cdot 2^l3^m\\2^{180}\cdot 3^{90}&=2^{l(2l+1)(2m+1)}\cdot 3^{m(2l+1)(2m+1)}\end{array}$$ Maka $l=2m.$ Sehingga $$\begin{array}{rll}180&=2m(4m+1)(2m+1)\\2\cdot 9\cdot 5&=2(4\cdot 2+1)(2\cdot 2+1)\end{array}$$ Maka $m=2$ dan $l=4.$ Akhirnya $ab=32.$
Kasus 2:
Bilangan $n$ bukan bilangan kuadrat. Perhatikan bahwa $$\begin{array}{rll}12^{90}&=n^{\frac{(a+1)(b+1)}{2}}\\2^{180}3^{90}&=(2^a3^b)^{\frac{(a+1)(b+1)}{2}}\\&=2^{\frac{a(a+1)(b+1)}{2}}3^{\frac{b(a+1)(b+1)}{2}}\end{array}$$ Akibatnya $a=2b.$ Sehingga $$4(9)(5)=180=b(2b+1)(b+1).$$ Jadi $b=4$ dan $a=8$ sehingga $ab=$ $32.$

$$\boxed{18}$$ Perhatikan bahwa kita dapat susun $x,y$ seperti pada gambar di bawah ini. Karena $x,y,z$ membentuk segitiga, maka $z\le x+y.$ Maka $$\begin{array}{rl}\dfrac{(x+y)^2}{\sqrt{x^2-16}+\sqrt{y^2-25}}&\ge \dfrac{z^2}{\sqrt{z^2-9^2}}\\&\ge \sqrt{z^2-9^2}+\dfrac{9^2}{\sqrt{z^2-9^2}}\\&\ge 18\end{array}$$ Kesamaan terjadi saat $\sqrt{z^2-9^2}=\dfrac{9^2}{\sqrt{z^2-9^2}}$ atau $z=9\sqrt{2}.$ Artinya $y=5\sqrt{2}$ dan $x=4\sqrt{2}.$

$$\boxed{825}$$ Perhatikan di dalam persegi berukuran 1x1 hanya ada 1 jenis persegi di dalamnya. Perhatikan di dalam persegi berukuran 2x2 hanya ada 2 jenis persegi di dalamnya. Perhatikan di dalam persegi berukuran 3x3 hanya ada 3 jenis persegi di dalamnya. Perhatikan di dalam persegi berukuran 4x4 hanya ada 4 jenis persegi di dalamnya. Perhatikan di dalam persegi berukuran 5x5 hanya ada 5 jenis persegi di dalamnya. Maka pola ini akan terus berlanjut hingga ukuran 9x9 ada 9 jenis persegi di dalamnya. Mudah dihitung bahwa banyaknya persegi $$\left\lbrace\begin{array}{rl}\text{ukuran 1x1 ada sebanyak } 9^2\\\text{ukuran 2x2 ada sebanyak }8^2\\\cdots\\\text{ukuran 9x9 ada sebanyak }1^2\end{array}\right.$$ Jadi banyaknya persegi adalah $$1\cdot 9^2+2\cdot 8^2+\cdots+9\cdot 1^2=825$$

$$\boxed{27^\circ}$$ Karena $\triangle ADB$ segitiga siku-siku dan $FD$ garis berat, maka $FD=BF=$ $AF$ seperti ditunjukkan pada gambar di bawah ini. Oleh karenanya $\angle FBD=\angle BDF=$ $90^\circ-\alpha.$
Karena $BE,AD,$ dan $CF$ berpotongan di satu titik, maka kita dapat gunakan Dalil Ceva $$\begin{array}{rll}\dfrac{CD}{BD}\cdot\dfrac{BF}{FA}\cdot\dfrac{AE}{EC}&=1&(\text{karena }BF=FA)\\\dfrac{CD}{BD}&=\dfrac{CE}{AE}\\\dfrac{CD}{CB}&=\dfrac{CE}{CA}\end{array}$$ Maka $\triangle ABC\sim\triangle CDE$ dan $DE\parallel AB$ sehingga $\angle CDE=\angle CBA=90^\circ -\alpha.$ Sehingga kita peroleh $$\begin{array}{rl}2(90^\circ-\alpha)+54^\circ&=180^\circ\\\alpha&=27^\circ\end{array}$$

$$\boxed{169}$$ Karena $p\vert n^2+4$ dan $n\vert p^2+4,$ maka $$\begin{array}{rl}pn&\vert p^2n^2+4(p^2+n^2+4)\\&\vert 4(p^2+n^2+4)\end{array}$$ Di sini kita bagi tinjau terlebih dahulu $p=2,3.$ Untuk $p=2,$ maka $n$ maksimum adalah $8$ karena $n|2^2+4.$ Untuk $p=3,$ maka $n$ maksimum adalah $13$ karena $n|3^2+4.$ Sekarang kita masuk ke dalam kasus $p>4.$ Maka $$\begin{array}{rl}pn\vert p^2+n^2+4\end{array}$$ Sekarang misalkan $p^2+n^2+$ $4=kpn$ dengan $k$ bilangan asli. Lihat ini merupakan persamaan kuadrat dalam $n.$ Misalkan solusi dari persamaan kuadrat ini adalah $n_1$ dan $n_2.$ Maka $$\begin{array}{rl}n_1+n_2=kp\text{ dan }n_1n_2=p^2+4\end{array}$$ Karena $n_1$ bilangan bulat positif maka $n_2$ juga bilangan bulat positif. Karena bersifat simetri maka kita punya $(n_1,p)$ solusi persamaan kuadrat maka $(p,n_2)=$$(p,\frac{p^2+4}{n_1})$ juga merupakan solusi. Sekarang lihat bahwa $(5,29)$ adalah solusi. Maka untuk membesarkan nilai $n$ kita dapat hitung solusi selanjutnya melalui $\left(29,\frac{29^2+4}{5}\right)=$ $\left(29,169\right)$. Solusi selanjutnya adalah $\left(169,\frac{169^2+4}{29}\right).$ Sehingga jika $p<200$ maka $p=29$ dan $n$ terbesar adalah $169.$