OSP Matematika SMA Tahun 2019

Dalam kantong terdapat 7 bola merah dan 8 bola putih. Andi mengambil dua bola sekaligus dari dalam kantong. Peluang terambilnya dua bola yang berwarna sama adalah \(\ldots\).
Jawaban

Diberikan suatu segienam beraturan dengan panjang sisi 1 satuan. Luas segienam tersebut adalah \(\ldots\).
Jawaban

Diketahui bahwa \(r, s\) dan $1$ adalah akar-akar persamaan kubik \(x^3 - 2x + c = 0\). Nilai dari \((r - s)^2\) adalah \(\ldots\).
Jawaban

Banyaknya pasangan bilangan asli \((m, n)\) sehingga \(\text{FPB}(m, n) = 2\) dan \(\text{KPK}(m, n) = 1000\) adalah \(\ldots\).
Jawaban

Suatu data dengan empat bilangan real \(2n - 4,\ 2n - 6,\ n^2 - 8,\ 3n^2 - 6\) mempunyai rata-rata 0 dan median \( \frac{9}{2} \). Bilangan terbesar dari data tersebut adalah \(\ldots\).
Jawaban

Misalkan \(a, b, c, d\) adalah bilangan-bilangan bulat lebih besar dari 2019 yang merupakan empat suku berurutan dari barisan aritmetika dengan \(a < b < c < d\). Jika \(a\) dan \(d\) merupakan kuadrat dari dua bilangan asli yang berurutan, maka nilai terkecil dari \(c - b\) adalah \(\ldots\).
Jawaban

Diberikan segitiga \(ABC\), dengan \(AB = 6\), \(AC = 8\), dan \(BC = 10\). Titik-titik \(D\) dan \(E\) terletak pada segment garis \(BC\), dengan \(BD = 2\) dan \(CE = 4\). Besar sudut \(\angle DAE\) adalah \(\ldots\).
Jawaban

Barisan bilangan real \(a_1, a_2, a_3, \ldots\) memenuhi \[ \frac{n a_1 + (n - 1)a_2 + \cdots + 2a_{n - 1} + a_n}{n^2} = 1 \] untuk setiap bilangan asli \(n\). Nilai dari \(a_1 a_2 a_3 \cdots a_{2019}\) adalah \(\ldots\).
Jawaban

Banyaknya cara memilih empat bilangan dari \(\{1, 2, 3, \ldots, 15\}\) dengan syarat selisih sebarang dua bilangan paling sedikit 3 adalah \(\ldots\).
Jawaban

Pasangan bilangan asli \((m, n)\) yang memenuhi \[ m^2 n + m n^2 + m^2 + 2mn = 2018m + 2019n + 2019 \] ada sebanyak \(\ldots\)
Jawaban

Diberikan segitiga \( ABC \) dengan \( \angle ABC = 135^\circ \) dan \( BC > AB \). Titik \( D \) terletak pada sisi \( BC \) sehingga \( AB = CD \). Misalkan \( F \) titik pada perpanjangan sisi \( AB \) sehingga \( DF \) tegak lurus \( AB \). Titik \( E \) terletak pada sinar \( DF \) sehingga \( DE > DF \) dan \( \angle ACE = 45^\circ \). Besar sudut \( \angle AEC \) adalah ....
Jawaban

Himpunan \( S \) terdiri dari \( n \) bilangan bulat dengan sifat berikut: Untuk setiap tiga anggota berbeda dari \( S \) ada dua di antaranya yang hasil penjumlahannya merupakan anggota \( S \). Nilai terbesar dari \( n \) adalah ....
Jawaban

Nilai minimum dari \[ \frac{a^2 + 2b^2 + \sqrt{2}}{\sqrt{ab}} \] dengan \( a, b \) bilangan real positif adalah ....
Jawaban

Polinom \( P(x) \) yang memenuhi persamaan \[ P(x^2) = x^{2019}(x + 1)P(x) \] dengan \( P\left(\frac{1}{2}\right) = -1 \) adalah ....
Jawaban

Pandang papan catur berukuran \( 19 \times 19 \) petak persegi satuan. Dua petak dikatakan bertetangga jika keduanya memiliki satu sisi persekutuan. Pada mulanya, terdapat total \( k \) koin pada papan catur tersebut di mana setiap koin hanya termuat tepat pada satu petak dan setiap petak dapat memuat koin atau kosong. Pada setiap giliran, Anda harus memilih tepat satu petak yang memuat koin sebanyak minimal banyaknya tetangga petak tadi kemudian Anda harus memberikan tepat satu koin pada masing-masing tetangga petak yang terpilih tadi. Permainan berakhir jika Anda sudah tidak dapat memilih petak dengan kondisi yang dimaksudkan. Bilangan terkecil \( k \) sehingga permainan tidak pernah berakhir untuk sembarang pemilihan petak awal adalah ....
Jawaban

Soal 1. Diberikan kubus \( ABCD.EFGH \) dengan panjang rusuk 4 satuan dan \( P \) titik tengah sisi \( EFGH \). Jika \( M \) adalah titik tengah \( PH \), tentukan panjang segmen garis \( AM \).

Jawaban

Soal 2. Cari semua bilangan real \( k \) sehingga sistem persamaan

\[ \begin{aligned} a^2 + ab &= kb^2 \\ b^2 + bc &= kc^2 \\ c^2 + ca &= ka^2 \end{aligned} \]

memiliki solusi bilangan real positif \( a, b, c \).

Jawaban

Soal 3. Suatu papan catur berukuran \( m \times n \) masing-masing kotaknya diwarnai hitam atau putih sedemikian sehingga:

1. Pada setiap baris banyaknya kotak hitam dan kotak putih sama banyak.
2. Jika suatu baris berpotongan dengan suatu kolom di suatu kotak hitam, maka baris dan kolom tersebut mengandung kotak hitam yang sama banyak.
3. Jika suatu baris berpotongan dengan suatu kolom di suatu kotak putih, maka baris dan kolom tersebut mengandung kotak putih yang sama banyak.

Tentukan semua nilai \( m \) dan \( n \) yang mungkin agar pewarnaan dengan sifat di atas dapat dilakukan.

Jawaban

Soal 4. Untuk bilangan real \( x \), simbol \( \lfloor x \rfloor \) menyatakan bilangan bulat terbesar yang tidak lebih besar dari \( x \), dan \( \lceil x \rceil \) menyatakan bilangan bulat terkecil yang tidak lebih kecil dari \( x \).

Tentukan semua bilangan bulat tak negatif \( k \) sehingga dapat ditemukan bilangan real positif tak bulat \( x \) yang memenuhi sifat

\[ \lfloor x + k \rfloor^{ \lfloor x + k \rfloor} = \lfloor x \rfloor^{ \lceil x \rceil} + \lceil x \rceil^{\lfloor x \rfloor}. \]

Jawaban

Soal 5. Diberikan segitiga \( ABC \), dengan \( AC > BC \), dan lingkaran luarnya yang berpusat di \( O \). Misalkan \( M \) adalah titik pada lingkaran luar segitiga \( ABC \) sehingga \( CM \) adalah garis bagi \( \angle ACB \).

Misalkan \( \Gamma \) adalah lingkaran berdiameter \( CM \). Garis bagi \( \angle BOC \) dan garis bagi \( \angle AOC \) memotong \( \Gamma \) berturut-turut di \( P \) dan \( Q \). Jika \( K \) adalah titik tengah \( CM \), buktikan bahwa titik-titik \( P, Q, O, K \) terletak pada satu lingkaran.

Jawaban