OSP Matematika SMA Tahun 2020

Banyaknya bilangan asli \( n < 800 \) sehingga $8$ membagi \( \left\lfloor \frac{n}{5} \right\rfloor \) namun $8$ tidak membagi \( n \) adalah ....
Jawaban

Sejumlah siswa mengikuti ujian dengan komposisi soal sebagai berikut:

• Bagian pertama terdiri dari $3$ soal dengan dua pilihan (benar/salah)
• Bagian kedua terdiri dari $5$ soal pilihan ganda dengan lima pilihan $(A, B,$ $C, D,$ $E)$

Banyaknya siswa minimal agar senantiasa terdapat dua siswa dengan jawaban sama persis baik pada bagian pertama maupun kedua adalah ....
Jawaban

Misalkan \( x, y \) bilangan bulat positif dan Jika diketahui bahwa \( A, B, C, D \) semuanya bulat dan \( A + B + C + D = 24 \), maka \( xy = 10^n \) dengan \( n = \ldots \)
Jawaban

Diberikan sebuah persegi dengan jari-jari lingkaran luar 6 satuan dengan pusat lingkaran luar \( O \) (artinya jarak titik \( O \) ke titik sudut persegi adalah 6 satuan). Persegi tersebut dirotasikan sebesar \( 45^\circ \) searah jarum jam dengan titik \( O \) sebagai titik pusat rotasi. Kedua persegi, sebelum dan sesudah rotasi, digabung menjadi satu bangun datar baru (perhatikan gambar) dengan keliling \( K \) dan luas \( L \). Nilai dari \( \left( \frac{L}{K} \right)^2 \) adalah ....
Jawaban

Diketahui himpunan \( S = \{1, 2, \ldots, 4\} \). Banyaknya pasangan himpunan bagian tidak kosong \( A_1, A_2, \ldots, A_6 \) yang memenuhi tiga syarat berikut sekaligus:

• \( A_1 \cap A_2 = \emptyset \)
• \( A_1 \cup A_2 \subseteq A_3 \)
• \( A_3 \subseteq \cdots \subseteq A_6 \)

adalah ....
Jawaban

Jika \( n \) adalah bilangan asli sehingga \( 4n + 808 \) dan \( 9n + 1621 \) merupakan bilangan kuadrat, maka \( n = \ldots \)
Jawaban

Suatu barisan bilangan bulat \( u_1, u_2, u_3, \ldots \) memenuhi: \[ u_{n+1} - u_n = \begin{cases} 1, & \text{jika } n \text{ ganjil} \\ 2, & \text{jika } n \text{ genap} \end{cases} \] Jika \( u_1 + u_2 + \cdots + u_{20} = 360 \), maka \( u_1 = \ldots \)
Jawaban

Pada segiempat konveks \(ABCD\) berlaku \( \angle BAD = \angle BCD = 45^\circ \), \( BC = AD = 5 \), dan \( BC \) tidak sejajar \( AD \). Keliling segiempat tersebut dapat dituliskan sebagai \( p + q\sqrt{r} \) dengan \( p, q, r \) bilangan bulat dan \( r \) bebas kuadrat (tidak memiliki faktor bilangan kuadrat selain 1). Nilai \( p + q + r \) adalah ....
Jawaban

Suatu polinom \( P(x) \) memenuhi: \[ P\left(x + \frac{2}{x}\right) = \frac{x^3 + 1}{x} + \frac{x^3 + 8}{2x^2}+3 \] Nilai dari \( P(1) \) adalah ....
Jawaban

Diketahui segitiga \( ABC \) dan garis bagi \( \angle BAC \) memotong sisi \( BC \) di titik \( D \). Lingkaran dengan pusat \( C \) dan melalui \( D \) memotong \( AD \) di \( E \) (selain \( D \)), dan lingkaran dengan pusat \( A \) dan melalui \( E \) memotong \( AB \) di \( X \) (dengan \( X \ne A \)). Diketahui bahwa \( E \) terletak di dalam segitiga \( ABC \). Jika \( AB = 15 \), \( AD = 9 \), dan \( AC = 6 \), maka \( BX = \ldots \)
Jawaban

Diberikan prisma dengan alas dan tutup berupa segi-\( n \) beraturan. Semua titik sudut prisma (total \( 2n \) titik sudut) dilabeli dengan bilangan \( 1 \) atau \( -1 \). Diketahui bahwa untuk setiap sisi (muka) prisma, hasil kali semua label titik sudut pada sisi (muka) tersebut adalah \( -1 \). Hasil penjumlahan semua \( n \) dengan \( 23 \leq n \leq 54 \) agar pelabelan seperti di atas mungkin dilakukan adalah ....
Jawaban

Misalkan \( x \) dan \( y \) bilangan-bilangan real positif sehingga \[ \left( \frac{x}{5} + \frac{y}{3} \right) \left( \frac{5}{x} + \frac{3}{y} \right) = 139. \] Jika nilai maksimal dan minimal dari \[ \frac{x + y}{\sqrt{xy}} \] berturut-turut adalah \( M \) dan \( m \), maka nilai dari \( M - m \) adalah ....
Jawaban

Diberikan suatu kubus yang terletak di atas tanah dengan 5 sisi (muka) berwarna putih dan satu sisi (muka) berwarna hitam. Pada awalnya, sisi berwarna hitam bukan merupakan sisi tegak. Kemudian kubus tersebut diputar pada salah satu rusuk pada alasnya sehingga alasnya berganti, dan diulangi sampai 8 kali. Peluang bahwa sisi berwarna hitam bukan sisi tegak lagi adalah ....
Jawaban

Pada suatu segitiga tumpul, diketahui bahwa panjang garis tinggi terpanjang adalah 8 dan panjang salah satu garis tinggi lainnya adalah 3. Jika diketahui bahwa garis tinggi ketiga memiliki panjang bilangan prima, panjang garis tinggi tersebut adalah ....
Jawaban

Misalkan \(m\) suatu bilangan asli. Suatu bilangan asli \(n > 1\) dikatakan \(rep-m\) jika terdapat bilangan asli \(x, y, z\) sehingga: \( x + y + z = m \) dan \( \dfrac{x}{n - 1} = \dfrac{y}{n} = \dfrac{z}{n + 1} \) Diketahui bahwa terdapat tepat 32 bilangan \(rep-m\) dengan salah satu di antaranya adalah 10. Bilangan asli \(k\) terbesar sehingga \( 10^k \) membagi \(m\) adalah ....
Jawaban

Misalkan \(H\) menyatakan himpunan semua bilangan asli yang dapat dituliskan sebagai \(\dfrac{10n^2 + 25}{n + 2} \) untuk suatu bilangan asli \(n\). Jumlah semua anggota \(H\) adalah ....
Jawaban

Diberikan lima persegi kecil dan sebuah persegi panjang besar \(ABCD\) seperti pada gambar berikut ini. Dalam gambar tersebut, titik \(P, Q, R, S\) terletak pada sisi persegi panjang \(ABCD\). Jika diketahui bahwa luas persegi kecil adalah 1 satuan, tentukan luas persegi panjang \(ABCD\).
Jawaban

Diberikan fungsi kuadrat \(f(x) = x^2 + px + q\) dengan \(p\) dan \(q\) merupakan bilangan bulat. Misalkan \(a, b, c\) adalah bilangan bulat berbeda sehingga \(2^{2020}\) habis membagi \(f(a), f(b), f(c)\), tetapi \(2^{1000}\) tidak habis membagi \(b - a\) dan juga tidak habis membagi \(c - a\). Tunjukkan bahwa \(2^{1021}\) habis membagi \(b - c\).
Jawaban

Tentukan semua bilangan irasional \(x\) sehingga \(x^2 + 20x + 20\) dan \(x^3 - 2020x + 1\) keduanya merupakan bilangan rasional.
Jawaban

Diketahui segitiga \(ABC\) tidak sama kaki dengan garis tinggi \(AA_1, BB_1,\) dan \(CC_1\). Misalkan \(B_A\) dan \(C_A\) berturut-turut titik pada \(BB_1\) dan \(CC_1\) sehingga \(A_1B_A\) tegak lurus \(BB_1\) dan \(A_1C_A\) tegak lurus \(CC_1\). Garis \(B_AC_A\) dan \(BC\) berpotongan di titik \(T_A\). Definisikan dengan cara yang sama titik \(T_B\) dan \(T_C\). Buktikan bahwa \(T_A, T_B, T_C\) kolinear.
Jawaban

Di suatu kota, \(n\) anak mengikuti kompetisi matematika dengan nilai total berupa bilangan bulat non-negatif. Misalkan \(k < n\) bilangan bulat positif. Untuk setiap anak \(s\), ia mendapatkan:

• \(k\) buah permen untuk setiap poin yang diperolehnya, dan
• Untuk setiap anak lain \(t\) yang nilainya lebih tinggi dari \(s\), maka \(s\) mendapatkan 1 buah permen untuk setiap poin selisih dari nilai \(t\) dan \(s\).

Setelah semua permen dibagikan, ternyata tidak ada anak yang memperoleh permen lebih sedikit dari Badu, dan ada \(i\) anak yang memperoleh nilai lebih tinggi dari Badu. Tentukan semua nilai \(i\) yang mungkin.
Jawaban