OSP Matematika SMA Tahun 2022

Terakhir diubah pada

Isian Singkat

Misalkan \( a, b,\)\( c \) adalah bilangan asli sedemikian sehingga: \[ a + 2b + 3c = 59. \] Nilai minimum dari: \[ a^2 + b^2 + c^2 \] adalah ....


$$\boxed{249}$$ Perhatikan bahwa dengan ketaksamaan CS mengatakan $$\begin{array}{rl}(a^2+b^2+c^2)(1^2+2^2+3^2) &\ge (a+2b+3c)^2\\a^2+b^2+c^2 &\ge\dfrac{59^2}{14}\\&=\dfrac{3481}{14}\\&=248,...\end{array}$$ Artinya nilai minimal dari $a^2+b^2+$$c^2$ adalah $249.$ Kalau kita lihat ketaksamaan CS akan bernilai sama dengan ketika $a:b:$$c=1:$$2:3.$ Maka misalkan $a=x$. Akibatnya $b=2x$ dan $c=3x.$ Oleh karena $14x=59.$ Sehingga $x=4,...$ Ketemulah $a=4,$ $b=8,$ dan $c=13$ akan menghasilkan $a^2+b^2+$$c^2=249.$

Diketahui \( ABCD \) adalah trapesium sedemikian sehingga \( AB \parallel CD \), dengan panjang \( AB = 7 \) dan \( CD = 8 \). Misalkan titik \( P \) dan \( Q \) berturut-turut pada \( AD \) dan \( BC \) sedemikian sehingga \( PQ \parallel AB \parallel CD \). Jika keliling trapesium \( ABQP \) sama dengan keliling trapesium \( PQCD \) serta \( AD + BC = 10 \), panjang dari \( 20PQ \) adalah ....


$$\boxed{ 151 }$$ Misalkan $AD=x$ dan $BC=y.$ Maka $x+y=$$10.$ Perhatikan bahwa $APR$ sebangung dengan $ADE.$ Misalkan $PR=p.$ Maka kita peroleh $AP=xp$ dan $AR=yp.$
i.upmath.me
Akibatnya $$\begin{array}{rl}K_{PQCD}&=K_{ABQP}\\ 7+p+(1-p)x+1+7+(1-p)x&=7+xp+p+7+yp\\ (1-p)(x+y)+8&=7+(x+y)p\\ -8p+8&=7+10p\\ 11&=20p\\ p&=\dfrac{11}{20}\end{array}$$ Oleh karenanya $$\begin{array}{rl}20PQ&=20\left(7+p\right)\\ &=151\end{array}$$

Diberikan segitiga sama sisi \( ABC \) dengan panjang sisi $19$ satuan. Dengan mempartisi masing-masing sisi segitiga tersebut menjadi $19$ segmen garis sama panjang dan menarik garis-garis yang sejajar dengan masing-masing ketiga sisinya, akan diperoleh \( 19^2 \) segitiga sama sisi dengan panjang sisi $1$ satuan.

Banyaknya jajargenjang yang terbentuk dari proses tersebut adalah \( 19k \). Nilai \( k = \ldots \)


$$\boxed{ 945 }$$ Ilustrasi untuk $3\times 3.$
i.upmath.me
Ketika kita mengambil dua titik yang tidak ada garis yang melewati keduanya akan mendefinisikan satu jajargenjang yang unik. Maka tugas kita pertama menghitung total pasangan titik yang tersedia. Sebelum itu jumlahkan seluruh titik yang tersedia yaitu $\dfrac{20\times 21}{2}=210.$ Akibatnya banyaknya pasangan titik yang dapat dibentuk adalah $\binom{210}{2}=\dfrac{210\times 109}{2}.$ Selanjutnya kita cari banyaknya pasangan titik yang dilewati garis. $$\begin{array}{rl}\text{pada garis horizontal ke-1}& \binom{2}{2}\\ \text{pada garis horizontal ke-2}& \binom{3}{2}\\ \cdots & \cdots \\ \text{pada garis horizontal ke-19}& \binom{20}{2} \end{array}$$ Jumlahkan $$\begin{array}{rl}\binom{2}{2}+\binom{3}{2}+\cdots+\binom{20}{2}&=\binom{21}{3}\\ &=\dfrac{21\cdot 20\cdot 19}{6}\end{array}$$ Karena ada tiga tipe garis yaitu horizontal, miring ke kanan, dan miring ke kiri maka hasil tersebut kita kalikan $3$ yaitu $\dfrac{21\cdot 20\cdot 19}{2}$ Maka $$\begin{array}{rl}19k&=\dfrac{210\cdot 109}{2}-\dfrac{21\cdot 20\cdot 19}{2}\\ k&=105\cdot 11-210\\ &=945\end{array}$$

Misalkan \( a, b \) bilangan asli yang memenuhi persamaan: \[ \sqrt{a + \frac{15}{b}} = a \sqrt{\frac{15}{b}} \] Hasil penjumlahan semua nilai yang mungkin yang \( b \) adalah …


$$\boxed{ 336 }$$ Perhatikan $$\begin{array}{rl}\sqrt{a+\dfrac{15}{b}} &= a\sqrt{\dfrac{15}{b}}\hspace{1cm}\text{ (kuadratkan)}\\ a+\dfrac{15}{b}&=a^2\left(\dfrac{15}{b}\right)\hspace{1cm}\text{ (kalikan $\dfrac{b}{a}$)}\\ b+\dfrac{15}{a}&=15a\\ b&=15a-\dfrac{15}{a}\end{array}$$ Karena $a,b\in\mathbb{N}$ maka $a$ faktor dari $15$. Akibatnya $$\begin{array}{rlcrlr}a&=1&&b&=15-15=0& \boxed{X}\\ a&=3&&b&=45-5=40& \boxed{V}\\ a&=5&&b&=75-3=72& \boxed{V}\\ a&=15&&b&=225-1=224& \boxed{V}\\\end{array}$$ Jadi jumlah seluruh $b$ yang mungkin adalah $$\boxed{336}$$

Tinjau barisan semua bilangan tujuh angka (digit) yang masing-masing menggunakan semua angka $1, 2,$ $3, 4,$ $5, 6,$ dan $7,$ diurutkan mulai dari yang terkecil sampai yang terbesar. Suku ke-$2024$ dari barisan tersebut adalah …


$$\boxed{ 3672154 }$$ Perhatikan bahwa $$\begin{array}{rl}\text{angka pertama 1 ada sebanyak }& 6! =720\\ \text{angka pertama 2 ada sebanyak }& 6! =720\\ \text{angka pertama 3 ada sebanyak }& 6! =720 \end{array}$$ Maka pasti suku ke-$2024$ berawalan $3$ karena suku yang berawalan $4$ mulai dari suku ke-$2161.$ Sekarang kita cek angka kedua. Pertama kita hitung $2024-2*720$$=584.$ Sekarang perhatikan $$\begin{array}{rl}\text{bilangan berawalan 31 ada sebanyak }& 5! =120\\ \text{bilangan berawalan 32 ada sebanyak }& 5! =120\\ \text{bilangan berawalan 34 ada sebanyak }& 5! =120 \\ \text{bilangan berawalan 35 ada sebanyak }& 5! =120 \end{array}$$ Maka kita temukan bilangan ini berawalan dengan $36.$ Kita hitung $584-480$$=104.$ Perhatikan $$\begin{array}{rl}\text{bilangan berawalan 361 ada sebanyak }& 4! =24\\ \text{bilangan berawalan 362 ada sebanyak }& 4! =24\\ \text{bilangan berawalan 364 ada sebanyak }& 4! =24 \\ \text{bilangan berawalan 365 ada sebanyak }& 4! =24 \end{array}$$ Maka $104-96$$=8.$ Jadi bilangan ini adalah $3672154.$

Diberikan suku banyak \( P(x) \) dengan koefisien bilangan bulat yang memenuhi: $P(6)P(38)P(57)$$ + 19$ habis dibagi $114.$ Jika \( P(-13) = 479 \) dan \( P(0) \geq 0 \), nilai terkecil yang mungkin dari \( P(0) \) adalah …


$$\boxed{ 247 }$$ Perhatikan bahwa $114=2$$\cdot 3\cdot 19.$ Maka $P(6)P(P38)P(57)$$+19$ juga habis dibagi $19.$ Perhatikan $$\begin{array}{rl}P(6)P(38)P(57)+19& \equiv 0\text{ (mod $19$)}\\ P(6)P(38)P(57)& \equiv 0\text{ (mod $19$)}\end{array}$$ Selanjutnya perhatikan kita punya $a-b\vert P(a)-P(b)$ dan $P(-13)\equiv 479$$\equiv 4\text{ (mod $19$)}$ akan mengakibatkan $P(6)\equiv 4$$\text{ (mod 19)}.$ Maka $P(38)\equiv 0\text{ (mod $19$)}$ atau $P(57)\equiv 0\text{ (mod $19$)}.$ Karena $19\vert 38,57$ maka akibatnya $19\vert P(0).$ Sehingga hal ini akan memastikan bahwa $P(38)\equiv 0\text{ (mod $19$)}$ dan $P(57)\equiv 0\text{ (mod $19$)}.$ Perhatikan bahwa $P(6)P(38)P(57)$$\equiv 95\text{ (mod $19$)}.$ Maka $6\nmid P(6)$ atau $P(6)\not\equiv$$ 0\text{ (mod $6$)}.$ Akibatnya $P(0)\ne 0.$ Sekarang kita punya data $$\begin{array}{rl}P(6)& \equiv 4\text{ (mod $19$)}\\ P(38),P(57)& \equiv 0\text{ (mod $19$)}\\P(0)& \equiv P(6)\text{ (mod $6$)}\\ P(0)& \equiv P(38)\text{ (mod $38$)}\\ P(0)& \equiv P(57)\text{ (mod $57$)}\\ P(0)& \equiv P(-13)\text{ (mod $13$)}\end{array}$$

Banyaknya pasangan bilangan bulat \( (m, n) \) yang merupakan solusi dari persamaan: \[ m^n = 17^{432} \] adalah ...


$$\boxed{ 20 }$$ Maka $n$ harus faktor dari $432.$ Perhatikan bahwa $432=$$2^4\cdot 3^3.$ Maka banyaknya kemungkinan untuk $n$ adalah $(4+1)(3+1)$$=20.$

Misalkan \( ABC \) adalah segitiga dengan panjang sisi \( AB = 16 \), \( AC = 23 \), dan \( \angle BAC = 30^\circ \). Luas persegi panjang terbesar sehingga salah satu sisinya berhimpit dengan \( BC \), dan dua titik sudut lainnya masing-masing pada \( AB \) dan \( AC \) adalah ...


$$\boxed{ 46 }$$
Perhatikan bahwa $\triangle ADE \sim \triangle ABC$ maka kita dapatkan $$\begin{array}{rl}\dfrac{DE}{BC} &= \dfrac{AE}{AC} \\ DE &= \dfrac{AE\cdot BC}{AC}\end{array}$$ Selanjutnya kita punya $$\begin{array}{rl}\dfrac{EF}{EC} &= \sin C \\ EF = EC\cdot \sin C\end{array}$$ Sekarang kita bisa dapatkan nilai $\sin C$ melalui rumus Sinus pada $\triangle ABC$ yaitu $$\begin{array}{rl}\dfrac{\sin A}{\sin C} &= \dfrac{BC}{AB} \\ \sin C &= \sin A \cdot \dfrac{AB}{BC}\end{array}$$ Sehingga luas persegi panjang akan menjadi $$\begin{array}{rl}DE \cdot EF &= \dfrac{AE}{AC} \cdot BC \cdot EC \cdot \sin A \cdot \dfrac{AB}{BC} \\ &= \dfrac{8}{23}\cdot AE\cdot EC \\ &\le \dfrac{8}{23}\left(\dfrac{AE+EC}{2}\right)^2 \\ &= \dfrac{8}{23}\cdot \dfrac{23^2}{2^2} = 46\end{array}$$

Banyaknya himpunan bagian tak kosong dari \( S = \{1, \)\(2, 3,\)\( \ldots, 21\} \) yang hasil penjumlahan anggotanya habis dibagi $4$ adalah \( 2^k - m \), dengan \( k, m \) bilangan bulat dan \( 0 \leq m < 2022 \). Nilai dari: \[ 10k + m \] adalah ...


$$\boxed{ 524287 }$$ Misalkan $S_1=\{ 1,2,$$\cdots,20 \}.$ Perhatikan bahwa ada sebanyak masing-masing $5$ bilangan yang bersisa $0,1,2,3$ ketika dibagi $4.$ Hal ini akan menyebabkan jumlah anggota subhimpunan yang habis dibagi $4$ ada sebanyak seperempat dari total subhimpunan yang ada dengan asumsi himpunan kosong jumlah anggotanya adalah $0.$ Sehingga untuk mencari $2^k-m$ kita dapat digunakan $$\begin{array}{rl}2^k-m=& \underbrace{\dfrac{2^{20}}{4}-1}_{\text{dari subhimpunan $S_1$}}+\underbrace{\dfrac{2^{20}}{4}}_{\text{dari subhimpunan $S_1\cup\{ 21\}$}}\\=& 2^{19}-1\end{array}$$ Maka nilai dari $10k+m$ adalah $$\boxed{191}$$

Diberikan barisan \( (a_n) \) dengan \( a_1 > 3 \) dan untuk semua bilangan asli \( n \geq 1 \) berlaku: \[ 2a_{n+1} = a_n(-1 + \sqrt{4a_n - 3}) \]

Jika \( |a_1 - a_{2022}|\)\( = 2023 \), maka nilai dari: \[ \sum_{i=1}^{2021} \frac{a_{i+1}^3}{a_i^2 + a_i a_{i+1} + a_{i+1}^2} \] adalah ...


$$\boxed{ 4044 }$$ Perhatikan bahwa $$\begin{array}{rl}2a_{n+1}+a_n &= a_n\sqrt{4a_n-3} \\ 4a^2_{n+1}+a^2_n+4a_{n+1}a_n &= a^2_n(4a_n-3) \\ 4a^2_{n+1}+4a^2_n+4a_{n+1}a_n &= 4a^3_n \\ a^2_{n+1}+a^2_n+a_{n+1}a_n &= a^3_n \end{array}$$ Selanjutnya kita lihat $$\begin{array}{rl}\sum_{i=1}^{2021} \left(\dfrac{a_{i+1}^3}{a_i^2 + a_i a_{i+1} + a_{i+1}^2}-1\right) &= \sum_{i=1}^{2021} \dfrac{a_{i+1}^3-a_1^3}{a_i^2+a_ia_{i+1}+a_{i+1}^2} \\ &= \sum_{i=1}^{2021} (a_{i+1}-a_i) \\ &= a_{2022}-a_1\end{array}$$ Karena $a_1 > 3,$ maka $a_2 > a_1 > 3.$ Akibatnya berdasarkan induksi $\{a_i\}$ monoton naik. Maka $a_{2022}-a_{1}=2023.$ Jadi $$\begin{array}{rl}\sum_{i=1}^{2021}=2023+2021=4044.\end{array}$$

Uraian

Misalkan \( A \) dan \( B \) himpunan dengan sifat bahwa terdapat tepat $144$ himpunan yang merupakan himpunan bagian dari \( A\) atau $B.$ Tentukan banyaknya anggota \( A \cup B \).


$$\boxed{ 8 }$$ Misalkan $\lvert A\rvert=x,$ $\lvert B\rvert=y,$ dan $\left| A\cap B\right|=z.$ Maka pastilah $\min\{x,y,z\}=z.$ Kita bagi menjadi $2$ kasus.
Kasus 1: $\min\{x,y\}=z.$ Misalkan $y=z.$
Perhatikan$$\begin{array}{rl}144&=2^x+2^y-2^z\\ 2^4(9)&=2^z(2^{x-z}+1-1)\hspace{1cm}\text{-->(TIDAK MUNGKIN)}\end{array}$$
Kasus 2: $\min\{x,y\} > z.$ Misalkan $x\ge y > z.$
Perhatikan$$\begin{array}{rl}144&=2^x+2^y-2^z\\ 2^4(9)&=2^z(2^{x-z}+2^{y-z}-1)\hspace{1cm}\text{-->($z=4$)}\\9&=2^{x-4}+2^{y-4}-1\\ 10&=2^{x-4}+2^{y-4}\\ 2(5)&=2^{y-4}(2^{x-y}+1)\hspace{1cm}\text{-->($y=5$)}\\ 5&=2^{x-5}+1\\ x&=7\end{array}$$ Maka $\left|A\cup B\right|=$$x+y-$$z=7+$$5-4=$ $$\boxed{8}$$

  1. Tentukan suatu bilangan asli \( n \) sehingga \( n(n + 2022) + 2 \) merupakan bilangan kuadrat sempurna.
  2. Tentukan semua bilangan asli \( a \) sehingga untuk setiap bilangan asli \( n \), bilangan \( n(n + a) + 2 \) tidak pernah merupakan suatu kuadrat sempurna.

$$\boxed{7}$$ Perhatikan bahwa $n=1$ akan menjadikan $$\begin{array}{rl}n(n+2022)+2 = 2025 =45^2.\end{array}$$
Selanjutnya untuk bagian kedua kita lanjutkan melalui cek cek yang kecil.
Kasus 1: $a=1.$
Maka ada bilangan asli $n=1$ sehingga $$\begin{array}{rl}n(n+a)+2=4=2^2.\end{array}$$ Tidak mungkin ada bilangan asli $n$ yang memenuhi.
Kasus 2: $a=2.$
Maka kita punya $$\begin{array}{rl}(n+1)^2 < n(n+2)+2 < (n+2)^2.\end{array}$$ Tidak mungkin ada bilangan asli $n$ yang memenuhi.
Kasus 3: $a=3.$
Maka kita punya $$\begin{array}{rl}(n+1)^2 < n(n+3)+2 < (n+2)^2.\end{array}$$ Tidak mungkin ada bilangan asli $n$ yang memenuhi.
Kasus 4: $a\equiv 0\text{(mod $4$)}$
Perhatikan bahwa $$\begin{array}{rl}n(n+a)+2 \equiv n^2+2 \equiv 2 \text{(mod $4$)}\end{array}$$ Tidak mungkin ada bilangan asli $n$ yang memenuhi.
Kasus 5: $a\equiv 1,2,3(\text{mod } 4)$ dengan $a > 4.$ Pasti ada minimal sebuah $n$ yang memenuhi dengan cara $$\begin{array}{rl}(n+k)^2 &= n(n+a)+2\end{array}$$ dengan memilih $k=\frac{a-1}{2}$ untuk $a$ ganjil dan $k=\frac{a}{2}-1$ untuk $a$ genap.

Diketahui bahwa \( x \) dan \( y \) adalah bilangan real yang memenuhi: \[ 5x^2 + 4xy + 11y^2 = 3 \] Tanpa menggunakan kalkulus (turunan/integral), tentukan nilai maksimum dari \( xy - 2x + \)\(5y \).


$$\boxed{ \dfrac{14}{3} }$$

Misalkan \( xy - 2x + 5y = k \). Maka, \( xy = k + 2x - 5y \). Perhatikan bahwa

\[ \begin{aligned} 3 &= 5x^2 + 4xy + 11y^2 \\ &= 5x^2 + 2xy + 2xy + 11y^2 \\ &= 5x^2 + 2xy + 2(k + 2x - 5y) + 11y^2 \\ &= 5x^2 + 2xy + 2k + 4x - 10y + 11y^2 \end{aligned} \]

Persamaan terakhir dapat ditulis ulang menjadi:

\[ k = \frac{13}{4} - \frac{1}{2}\left( (2x+1)^2 + (x+y)^2 + 10\left(y - \frac{1}{2}\right)^2 \right) \]

Karna tidak ada bilangan kuadrat yang negatif, maka \( k \leq \frac{13}{4} \). Perhatikan bahwa:

\[ k = \frac{13}{4} \iff 2x + 1 = x + y = y - \frac{1}{2} = 0 \Rightarrow x = -\frac{1}{2}, y = \frac{1}{2} \]

Dapat dicek bahwa \( x = -\frac{1}{2} \) dan \( y = \frac{1}{2} \) memenuhi \( 5x^2 + 4xy + 11y^2 = 3 \).

Jadi, nilai maksimum dari \( xy - 2x + 5y \) adalah

\[ \boxed{\frac{13}{4}} \]

Diberikan segitiga \( ABC \) dengan titik pusat lingkaran luar \( O \). Titik \( D \) merupakan refleksi titik \( A \) terhadap \( BC \). Misalkan \( \ell \) adalah garis yang sejajar dengan \( BC \) dan melalui \( O \). Garis melalui \( B \) sejajar \( CD \) dan \( \ell \) bertemu pada titik \( B_1 \). Garis \( CB_1 \) dan \( BD \) berpotongan pada titik \( B_2 \). Garis melalui \( C \) sejajar \( BD \) dan \( \ell \) bertemu pada titik \( C_1 \). Garis \( BC_1 \) dan \( CD \) berpotongan pada titik \( C_2 \). Buktikan bahwa titik-titik \( A, B_2, C_2, D \) terletak pada suatu lingkaran.


$$\boxed{-2\pm\sqrt{5}}$$ =====================

Pada papan tulis mula-mula terdapat $22$ angka \( 1, 2,\)\( 3, \ldots,\)\( 21, 22 \). Suatu langkah adalah prosedur memilih dua angka \( a, b \) pada papan dengan \( b \geq a + 2 \), kemudian menghapus \( a \) dan \( b \) dan menggantikannya dengan \( a+1 \) dan \( b-1 \). Tentukan banyaknya langkah maksimum yang mungkin dapat dilakukan.


$$\boxed{ 440 }$$ Perhatikan bahwa prosedur ini berusaha menyeimbangkan antara $a$ dan $b.$ Sehingga proses ini akan berhenti ketika selisih nilai antara $a$ dan $b$ adalah $1.$

Untuk kemungkinan kedua, misalkan bilangan yang tersisa adalah \( x \) dan \( x + 1 \) dengan banyaknya masing-masing adalah \( k \) dan \( 22 - k \), berturut-turut. Kita punya persamaan:

\[ 11 \times 23 = kx + (22 - k)(x + 1) \Rightarrow 231 = 22x - k \]

Dengan ini, \( k \equiv 11 \pmod{22} \). Karena \( 0 \leq k \leq 22 \), maka \( k = 11 \) dan \( x = 11 \). Jadi, prosedur harus berakhir saat bilangan yang tersisa adalah:

\[ \underbrace{11, 11, \ldots, 11}_{11 \text{ kali}}, \underbrace{12, 12, \ldots, 12}_{11 \text{ kali}}. \]

Sekarang perhatikan nilai

\[ S(x_1, x_2, \ldots, x_{22}) = \sum_{i=1}^{22} \left( x_i - \frac{23}{2} \right)^2 \]

dengan \( x_1, x_2, \ldots, x_{22} \) adalah bilangan di papan. Untuk setiap dua langkah berurutan yang mengganti pasangan \( (a, b) \) menjadi \( (a+1, b-1) \), didapat nilai \( S \) yang berubah (turun) sebesar:

\[ \left( a - \frac{23}{2} \right)^2 + \left( a - \frac{23}{2} \right)^2 - \left( a - \frac{21}{2} \right)^2 - \left( b - \frac{25}{2} \right)^2 = 2(b - a - 1) \geq 2 \]

Karena \( S(1, 2, \ldots, 22) = \frac{1771}{2} \) dan \( S(11, \ldots, 11, 12, \ldots, 12) = \frac{11}{2} \), maka banyaknya langkah maksimum adalah:

\[ \frac{1}{2} \left( \frac{1771}{2} - \frac{11}{2} \right) = 440 \]

Untuk konfigurasi 440 langkah dapat dilakukan dengan cara berikut:

Perhatikan bilangan-bilangan

\[ a, a+1, \ldots, b-1, b \]

Dengan memilih pasangan-pasangan \( (a, a+2), (a+1, a+3), (a+2, a+4), \ldots, (b-2, b) \) secara berturut-turut, kita telah melakukan \( b - a - 1 \) langkah dan pada akhirnya kita hanya mengubah satu buah \( a \) menjadi \( a + 1 \) dan satu buah \( b \) menjadi \( b - 1 \).

Dengan observasi tersebut, kita bisa membuat susunan langkah berikut:

  • Dari 1, 2, 3, ..., 22, lakukan 20 langkah untuk mendapatkan 2, 2, 3, 4, 5, ..., 19, 20, 21.
  • Dari konfigurasi sebelumnya, lakukan 18 langkah untuk mendapatkan 2, 3, 3, 4, 5, ..., 19, 20, 20, 21.
  • Lanjutkan 18 langkah lagi untuk mendapatkan 3, 3, 3, 4, 5, ..., 18, 19, 20, 20.

Sampai sini, kita melakukan dua kali 18 langkah untuk mengubah dua buah 2 di poin pertama menjadi dua buah 3 di poin ini.

  • Lanjutkan dengan \( 3 \times 16 \) langkah berikutnya untuk mengubah tiga buah 3 menjadi tiga buah 4.
  • Dan seterusnya.

Dengan ini, banyaknya langkah adalah:

\[ 20 + 2(18) + 3(16) + 4(14) + 5(12) + 6(10) + 7(8) + 8(6) + 9(4) + 10(2) = 440 \]

ada juga ...

Loading...