OSP Matematika SMA Tahun 2022

Terakhir diubah pada

Isian Singkat

Misalkan \( a, b,\)\( c \) adalah bilangan asli sedemikian sehingga: \[ a + 2b + 3c = 59. \] Nilai minimum dari: \[ a^2 + b^2 + c^2 \] adalah ....


$$\boxed{249}$$ Perhatikan bahwa dengan ketaksamaan CS mengatakan $$\begin{array}{rl}(a^2+b^2+c^2)(1^2+2^2+3^2) &\ge (a+2b+3c)^2\\a^2+b^2+c^2 &\ge\dfrac{59^2}{14}\\&=\dfrac{3481}{14}\\&=248,...\end{array}$$ Artinya nilai minimal dari $a^2+b^2+$$c^2$ adalah $249.$ Kalau kita lihat ketaksamaan CS akan bernilai sama dengan ketika $a:b:$$c=1:$$2:3.$ Maka misalkan $a=x$. Akibatnya $b=2x$ dan $c=3x.$ Oleh karena $14x=59.$ Sehingga $x=4,...$ Ketemulah $a=4,$ $b=8,$ dan $c=13$ akan menghasilkan $a^2+b^2+$$c^2=249.$

Diketahui \( ABCD \) adalah trapesium sedemikian sehingga \( AB \parallel CD \), dengan panjang \( AB = 7 \) dan \( CD = 8 \). Misalkan titik \( P \) dan \( Q \) berturut-turut pada \( AD \) dan \( BC \) sedemikian sehingga \( PQ \parallel AB \parallel CD \). Jika keliling trapesium \( ABQP \) sama dengan keliling trapesium \( PQCD \) serta \( AD + BC = 10 \), panjang dari \( 20PQ \) adalah ....


$$\boxed{ 151 }$$ Misalkan $AD=x$ dan $BC=y.$ Maka $x+y=$$10.$ Perhatikan bahwa $APR$ sebangung dengan $ADE.$ Misalkan $PR=p.$ Maka kita peroleh $AP=xp$ dan $AR=yp.$
i.upmath.me
Akibatnya $$\begin{array}{rl}K_{PQCD}&=K_{ABQP}\\ 7+p+(1-p)x+1+7+(1-p)x&=7+xp+p+7+yp\\ (1-p)(x+y)+8&=7+(x+y)p\\ -8p+8&=7+10p\\ 11&=20p\\ p&=\dfrac{11}{20}\end{array}$$ Oleh karenanya $$\begin{array}{rl}20PQ&=20\left(7+p\right)\\ &=151\end{array}$$

Diberikan segitiga sama sisi \( ABC \) dengan panjang sisi $19$ satuan. Dengan mempartisi masing-masing sisi segitiga tersebut menjadi $19$ segmen garis sama panjang dan menarik garis-garis yang sejajar dengan masing-masing ketiga sisinya, akan diperoleh \( 19^2 \) segitiga sama sisi dengan panjang sisi $1$ satuan.

Banyaknya jajargenjang yang terbentuk dari proses tersebut adalah \( 19k \). Nilai \( k = \ldots \)


$$\boxed{ 945 }$$ Ilustrasi untuk $3\times 3.$
i.upmath.me
Ketika kita mengambil dua titik yang tidak ada garis yang melewati keduanya akan mendefinisikan satu jajargenjang yang unik. Maka tugas kita pertama menghitung total pasangan titik yang tersedia. Sebelum itu jumlahkan seluruh titik yang tersedia yaitu $\dfrac{20\times 21}{2}=210.$ Akibatnya banyaknya pasangan titik yang dapat dibentuk adalah $\binom{210}{2}=\dfrac{210\times 109}{2}.$ Selanjutnya kita cari banyaknya pasangan titik yang dilewati garis. $$\begin{array}{rl}\text{pada garis horizontal ke-1}& \binom{2}{2}\\ \text{pada garis horizontal ke-2}& \binom{3}{2}\\ \cdots & \cdots \\ \text{pada garis horizontal ke-19}& \binom{20}{2} \end{array}$$ Jumlahkan $$\begin{array}{rl}\binom{2}{2}+\binom{3}{2}+\cdots+\binom{20}{2}&=\binom{21}{3}\\ &=\dfrac{21\cdot 20\cdot 19}{6}\end{array}$$ Karena ada tiga tipe garis yaitu horizontal, miring ke kanan, dan miring ke kiri maka hasil tersebut kita kalikan $3$ yaitu $\dfrac{21\cdot 20\cdot 19}{2}$ Maka $$\begin{array}{rl}19k&=\dfrac{210\cdot 109}{2}-\dfrac{21\cdot 20\cdot 19}{2}\\ k&=105\cdot 11-210\\ &=945\end{array}$$

Misalkan \( a, b \) bilangan asli yang memenuhi persamaan: \[ \sqrt{a + \frac{15}{b}} = a \sqrt{\frac{15}{b}} \] Hasil penjumlahan semua nilai yang mungkin yang \( b \) adalah …


$$\boxed{ 336 }$$ Perhatikan $$\begin{array}{rl}\sqrt{a+\dfrac{15}{b}} &= a\sqrt{\dfrac{15}{b}}\hspace{1cm}\text{ (kuadratkan)}\\ a+\dfrac{15}{b}&=a^2\left(\dfrac{15}{b}\right)\hspace{1cm}\text{ (kalikan $\dfrac{b}{a}$)}\\ b+\dfrac{15}{a}&=15a\\ b&=15a-\dfrac{15}{a}\end{array}$$ Karena $a,b\in\mathbb{N}$ maka $a$ faktor dari $15$. Akibatnya $$\begin{array}{rlcrlr}a&=1&&b&=15-15=0& \boxed{X}\\ a&=3&&b&=45-5=40& \boxed{V}\\ a&=5&&b&=75-3=72& \boxed{V}\\ a&=15&&b&=225-1=224& \boxed{V}\\\end{array}$$ Jadi jumlah seluruh $b$ yang mungkin adalah $$\boxed{336}$$

Tinjau barisan semua bilangan tujuh angka (digit) yang masing-masing menggunakan semua angka $1, 2,$ $3, 4,$ $5, 6,$ dan $7,$ diurutkan mulai dari yang terkecil sampai yang terbesar. Suku ke-$2024$ dari barisan tersebut adalah …


$$\boxed{ 3672154 }$$ Perhatikan bahwa $$\begin{array}{rl}\text{angka pertama 1 ada sebanyak }& 6! =720\\ \text{angka pertama 2 ada sebanyak }& 6! =720\\ \text{angka pertama 3 ada sebanyak }& 6! =720 \end{array}$$ Maka pasti suku ke-$2024$ berawalan $3$ karena suku yang berawalan $4$ mulai dari suku ke-$2161.$ Sekarang kita cek angka kedua. Pertama kita hitung $2024-2*720$$=584.$ Sekarang perhatikan $$\begin{array}{rl}\text{bilangan berawalan 31 ada sebanyak }& 5! =120\\ \text{bilangan berawalan 32 ada sebanyak }& 5! =120\\ \text{bilangan berawalan 34 ada sebanyak }& 5! =120 \\ \text{bilangan berawalan 35 ada sebanyak }& 5! =120 \end{array}$$ Maka kita temukan bilangan ini berawalan dengan $36.$ Kita hitung $584-480$$=104.$ Perhatikan $$\begin{array}{rl}\text{bilangan berawalan 361 ada sebanyak }& 4! =24\\ \text{bilangan berawalan 362 ada sebanyak }& 4! =24\\ \text{bilangan berawalan 364 ada sebanyak }& 4! =24 \\ \text{bilangan berawalan 365 ada sebanyak }& 4! =24 \end{array}$$ Maka $104-96$$=8.$ Jadi bilangan ini adalah $3672154.$

Diberikan suku banyak \( P(x) \) dengan koefisien bilangan bulat yang memenuhi: $P(6)P(38)P(57)$$ + 19$ habis dibagi $114.$ Jika \( P(-13) = 479 \) dan \( P(0) \geq 0 \), nilai terkecil yang mungkin dari \( P(0) \) adalah …


$$\boxed{ 247 }$$ Perhatikan bahwa $114=2$$\cdot 3\cdot 19.$ Maka $P(6)P(P38)P(57)$$+19$ juga habis dibagi $19.$ Perhatikan $$\begin{array}{rl}P(6)P(38)P(57)+19& \equiv 0\text{ (mod $19$)}\\ P(6)P(38)P(57)& \equiv 0\text{ (mod $19$)}\end{array}$$ Selanjutnya perhatikan kita punya $a-b\vert P(a)-P(b)$ dan $P(-13)\equiv 479$$\equiv 4\text{ (mod $19$)}$ akan mengakibatkan $P(6)\equiv 4$$\text{ (mod 19)}.$ Maka $P(38)\equiv 0\text{ (mod $19$)}$ atau $P(57)\equiv 0\text{ (mod $19$)}.$ Karena $19\vert 38,57$ maka akibatnya $19\vert P(0).$ Sehingga hal ini akan memastikan bahwa $P(38)\equiv 0\text{ (mod $19$)}$ dan $P(57)\equiv 0\text{ (mod $19$)}.$ Perhatikan bahwa $P(6)P(38)P(57)$$\equiv 95\text{ (mod $19$)}.$ Maka $6\nmid P(6)$ atau $P(6)\not\equiv$$ 0\text{ (mod $6$)}.$ Akibatnya $P(0)\ne 0.$ Sekarang kita punya data $$\begin{array}{rl}P(6)& \equiv 4\text{ (mod $19$)}\\ P(38),P(57)& \equiv 0\text{ (mod $19$)}\\P(0)& \equiv P(6)\text{ (mod $6$)}\\ P(0)& \equiv P(38)\text{ (mod $38$)}\\ P(0)& \equiv P(57)\text{ (mod $57$)}\\ P(0)& \equiv P(-13)\text{ (mod $13$)}\end{array}$$

Banyaknya pasangan bilangan bulat \( (m, n) \) yang merupakan solusi dari persamaan: \[ m^n = 17^{432} \] adalah ...


$$\boxed{ 20 }$$ Maka $n$ harus faktor dari $432.$ Perhatikan bahwa $432=$$2^4\cdot 3^3.$ Maka banyaknya kemungkinan untuk $n$ adalah $(4+1)(3+1)$$=20.$

Misalkan \( ABC \) adalah segitiga dengan panjang sisi \( AB = 16 \), \( AC = 23 \), dan \( \angle BAC = 30^\circ \). Luas persegi panjang terbesar sehingga salah satu sisinya berhimpit dengan \( BC \), dan dua titik sudut lainnya masing-masing pada \( AB \) dan \( AC \) adalah ...


$$\boxed{ 46 }$$

Banyaknya himpunan bagian tak kosong dari \( S = \{1, \)\(2, 3,\)\( \ldots, 21\} \) yang hasil penjumlahan anggotanya habis dibagi $4$ adalah \( 2^k - m \), dengan \( k, m \) bilangan bulat dan \( 0 \leq m < 2022 \). Nilai dari: \[ 10k + m \] adalah ...


$$\boxed{ 524287 }$$ Misalkan $S_1=\{ 1,2,$$\cdots,20 \}.$ Perhatikan bahwa ada sebanyak masing-masing $5$ bilangan yang bersisa $0,1,2,3$ ketika dibagi $4.$ Hal ini akan menyebabkan jumlah anggota subhimpunan yang habis dibagi $4$ ada sebanyak seperempat dari total subhimpunan yang ada dengan asumsi himpunan kosong jumlah anggotanya adalah $0.$ Sehingga untuk mencari $2^k-m$ kita dapat digunakan $$\begin{array}{rl}2^k-m=& \underbrace{\dfrac{2^{20}}{4}-1}_{\text{dari subhimpunan $S_1$}}+\underbrace{\dfrac{2^{20}}{4}}_{\text{dari subhimpunan $S_1\cup\{ 21\}$}}\\=& 524287\end{array}$$

Diberikan barisan \( (a_n) \) dengan \( a_1 > 3 \) dan untuk semua bilangan asli \( n \geq 1 \) berlaku: \[ 2a_{n+1} = a_n(-1 + \sqrt{4a_n - 3}) \]

Jika \( |a_1 - a_{2022}|\)\( = 2023 \), maka nilai dari: \[ \sum_{i=1}^{2021} \frac{a_{i+1}^3}{a_i^2 + a_i a_{i+1} + a_{i+1}^2} \] adalah ...


$$\boxed{20}$$ =====================

Uraian

Misalkan \( A \) dan \( B \) himpunan dengan sifat bahwa terdapat tepat 144 himpunan yang merupakan himpunan bagian dari \( A \cup B \). Tentukan banyaknya anggota \( A \cup B \).


$$\boxed{40}$$ ==========================

  1. Tentukan suatu bilangan asli \( n \) sehingga \( n(n + 2022) + 2 \) merupakan bilangan kuadrat sempurna.
  2. Tentukan semua bilangan asli \( a \) sehingga untuk setiap bilangan asli \( n \), bilangan \( n(n + a) + 2 \) tidak pernah merupakan suatu kuadrat sempurna.

$$\boxed{7}$$ =====================

Diketahui bahwa \( x \) dan \( y \) adalah bilangan real yang memenuhi: \[ 5x^2 + 4xy + 11y^2 = 3 \] Tanpa menggunakan kalkulus (turunan/integral), tentukan nilai maksimum dari \( xy - 2x + \)\(5y \).


$$\boxed{910}$$ =======================

Diberikan segitiga \( ABC \) dengan titik pusat lingkaran luar \( O \). Titik \( D \) merupakan refleksi titik \( A \) terhadap \( BC \). Misalkan \( \ell \) adalah garis yang sejajar dengan \( BC \) dan melalui \( O \). Garis melalui \( B \) sejajar \( CD \) dan \( \ell \) bertemu pada titik \( B_1 \). Garis \( CB_1 \) dan \( BD \) berpotongan pada titik \( B_2 \). Garis melalui \( C \) sejajar \( BD \) dan \( \ell \) bertemu pada titik \( C_1 \). Garis \( BC_1 \) dan \( CD \) berpotongan pada titik \( C_2 \). Buktikan bahwa titik-titik \( A, B_2, C_2, D \) terletak pada suatu lingkaran.


$$\boxed{-2\pm\sqrt{5}}$$ =====================

Pada papan tulis mula-mula terdapat $22$ angka \( 1, 2,\)\( 3, \ldots,\)\( 21, 22 \). Suatu langkah adalah prosedur memilih dua angka \( a, b \) pada papan dengan \( b \geq a + 2 \), kemudian menghapus \( a \) dan \( b \) dan menggantikannya dengan \( a+1 \) dan \( b-1 \). Tentukan banyaknya langkah maksimum yang mungkin dapat dilakukan.


$$\boxed{----}$$

ada juga ...

Loading...