OSP Matematika SMA Tahun 2023

$$\boxed{22}$$ Misalkan beda pada barisan $\{a\}$ adalah $s_1$ dan beda pada barisan $\{b\}$ adalah $s_2.$ Sekarang kita akan melihat apa yang ditanyakan $$\begin{array}{rl}\dfrac{b_4-b_3}{a_2-a_1}=\dfrac{(b_1+3s_2)-(b_1+2s_2)}{(a_1+s_1)-(a_1)}=\dfrac{s_2}{s_1}.\end{array}$$ Perhatikan bahwa $$\begin{array}{rl}a_{228}&=b_{15}\\a_1+227s_1&=b_1+14s_2\\a_1-b_1&=14s_2-227s_1\end{array}$$ dan $$\begin{array}{rl}a_8&=b_5\\a_1+7s_1&=b_1+4s_2\\a_1-b_1&=4s_2-7s_1\end{array}$$ Maka $$\begin{array}{rl}a_1-b_1=14s_2-227s_1&=4s_2-7s_1\\10s_2&=220s_1\\\dfrac{s_2}{s_1}&=\dfrac{220}{10}=22\end{array}$$

$$\boxed{74}$$ Perhatikan $$\begin{array}{rl}\dfrac{1^2+2^2+\cdots+n^2}{1+2+\cdots+n}&=\dfrac{\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)}{\frac{1}{2}n(n+1)}\\&=\dfrac{2n+1}{3}\end{array}$$ Maka $2n+1\equiv$ (mod $3$). Sehingga $$\begin{array}{rl}2n+1&\equiv 0(\text{mod }3)\\2n+1&\equiv 3(\text{mod }3)\\2n&\equiv 2(\text{mod }3)\\n&\equiv 1(\text{mod }3)\end{array}$$ Maka ada sebanyak $\dfrac{220-1}{3}+1$ $=74$ banyaknya $n$ yang memenuhi.

$$\boxed{17}$$ Kita akan bagi menjadi beberapa kasus berdasarkan nilai $b.$
Saat $b=0$ maka hanya akan ada satu garis yaitu $$x=0.$$
Saat $b=1$ maka akan ada 5 garis yaitu $$y=-1x,2x,3x,6x,\text{ dan }7x.$$
Saat $b=2$ maka akan ada 3 garis yaitu $$y=-\dfrac{a}{2}x\text{ dengan }a=1,3,7.$$
Saat $b=3$ maka akan ada 3 garis yaitu $$y=-\dfrac{a}{3}x\text{ dengan }a=1,2,7.$$
Saat $b=6$ maka akan ada 2 garis yaitu $$y=-\dfrac{a}{6}x\text{ dengan }a=1,7.$$
Saat $b=7$ maka akan ada 4 garis yaitu $$y=-\dfrac{a}{7}x\text{ dengan }a=1,2,3,6.$$ Jadi total ada $$\boxed{17}$$

$$\boxed{49}$$ Panjang $BC=6$ berdasarkan Phytagoras $\triangle ABC.$ Selanjutnya perpanjang $CQ$ dan $AD$ sehingga bertemu di $C'.$ Maka berdasarkan sudut istimewa maka $CD=\frac{1}{2}CC'.$ Karena $CD=CQ$ maka $\left[ACQ\right]=\frac{1}{2}\left[ACC'\right].$
Selanjutnya perpanjang $CP$ dan $AB$ sehingga bertemu di $C''.$ Maka analog $\left[ACP\right]=\frac{1}{2}\left[ACC''\right].$
Maka $$\begin{array}{rl}\left[ACP\right]+\left[ACQ\right]&=\frac{1}{2}\left[ACC'\right]+\frac{1}{2}\left[ACC''\right]\\&=\frac{1}{2}\cdot\frac{8}{2}(6+8\sqrt{3})+\frac{1}{2}\cdot\frac{6}{2}(8+6\sqrt{3})\\&=12+16\sqrt{3}+12+9\sqrt{3}\\&=24+25\sqrt{3}\end{array}$$

$$\boxed{97}$$ Perhatikan bahwa
Banyaknya kelipatan $3^2$ adalah 3 yaitu $\lbrace 9,27,45\rbrace$
Banyaknya kelipatan $2$ adalah 3 yaitu $\lbrace 6,10,20\rbrace$
Pertama akan kita hitung banyaknya subhimpunan yang diminta dan memuat bilangan dengan faktor $3^2.$ Maka ada sebanyak $3\cdot 3\cdot $$10=90.$ Kedua akan kita hitung subhimpunan yang diminta tetapi tidak memuat bilangan dengan faktor $3^2.$ Maka ada sebanyak $1\cdot 1\cdot $ $7=7.$ Jadi total ada sebanyak $$\boxed{97}$$

$$\boxed{70}$$ Kita akan gunakan PoP untuk menyelesaikan soal ini. Misalkan sisi segitiga sama sisi adalah $a.$ Perhatikan bahwa $$\begin{array}{rl}36(a+BP)&=FR(a+13)\\36a+36BP&=aFR+13FR\hspace{1cm}(1)\end{array}$$ Perhatikan bahwa $$\begin{array}{rl}21(a+DQ)&=BP(a+36)\\21a+21DQ&=aBP+36BP\hspace{1cm}(2)\end{array}$$ Perhatikan bahwa $$\begin{array}{rl}13(a+FR)&=DQ(a+21)\\13a+13FR&=aDQ+21DQ\hspace{1cm}(3)\end{array}$$ Jumlahkan $(1),(2),$ dan $(3)$ maka akan didapatkan apa yang diinginkan.

$$\boxed{1}$$ Perhatikan jika $\sqrt{2n+36}$ dan $\sqrt{2n-16}$ bilangan asli maka misalkan $x^2=2n+36$ dan $y^2=2n-16$. Maka $x^2-y^2=$ $(x-y)$$(x+y)=$ $52$. Karena $x-y$ dan $x+y$ memiliki paritas yang sama, maka $x-y=2$ dan $x+y=26$. Jadi $x=14$ dan $y=12$ dan ketemu $n=80.$
Jika $\sqrt{2n+36}$ dan $\sqrt{2n-16}$ bukan bilangan asli. Misalkan seperti yang pertama $x$ dan $y$ tetapi sekarang mereka belum tentu bilangan asli tetapi harus memenuhi $x+y$ bilangan asli. Maka $x-y=\frac{52}{x+y}.$ Jadi $x-y\in\mathbb{Q}$. Akibatnya $x,y\in\mathbb{Q}.$ Karena $x$ rasional dan $x^2=2n+36\in\mathbb{Z}$, akibatnya $x\in\mathbb{N}.$ Kembali lagi ke kasus pertama. Hal yang sama berlaku pada $y.$

$$\boxed{20}$$ Perhatikan bahwa $$\begin{array}{rl}\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}&\leq 2\sqrt{\dfrac{2}{5}}\\\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{2}{ab}&\leq \dfrac{8}{5}\hspace{1cm}\cdots(1)\end{array}$$ Selanjutnya $$\begin{array}{rl}(a-b)^2&=\dfrac{4}{25}a^3b^3\\a^2+b^2-2ab&=\dfrac{4}{25}a^3b^3\\a^2+b^2+2ab&=4ab+\dfrac{4}{25}a^3b^3\\\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{2}{ab}&=\dfrac{4}{ab}+\dfrac{4}{25}ab\\\text{berdasarkan AM-GM}&\ge \dfrac{8}{5} \hspace{1cm}\cdots(2)\end{array}$$ Gabungkan $(1)$ dan $(2)$ maka akan didapatkan $$\begin{array}{rl}\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\right)^2=\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{2}{ab}=\dfrac{8}{5}\end{array}$$ Karena berlaku kesamaan maka $\dfrac{4}{ab}=\dfrac{4}{25}ab.$ Jadi $ab=5.$ Maka nilai maksimum dari $a^2+b^2$ adalah $$\begin{array}{rl}a^2+b^2&=(a-b)^2+2ab\\&=\dfrac{4}{25}a^3b^3+2ab\\&=30\end{array}$$

$$\boxed{40}$$ Misalkan $X'$ pada $BC$ sehingga $XX'$ sejajar $AB$. Begitu juga $Y'$ pada $AD$ sehingga $YY'$ sejajar dengan $AB$. Misalkan $XY'=YX'=a.$ Perhatikan bahwa $ABXY$ dan $CDXY$ berbentuk trapesium sehingga kita punya $$\begin{array}{rl}\dfrac{\left[ABXY\right]}{\left[CDXY\right]}&=\dfrac{\frac{1}{2}(AX+BY)(AB)}{\frac{1}{2}(CD+CY)(CD)}\\\dfrac{20}{23}&=\dfrac{2AX+a}{2CY+a}\\40CY+20a&=46AX+23a\\40CY&=46AX+3a\hspace{1cm}\dots(1)\end{array}$$ Selanjutnya perhatikan $$\begin{array}{rl}a+AX+CY=43\hspace{1cm}\dots(2)\end{array}$$ Substitusi $(2)$ ke $(1)$ maka didapatkan $$\begin{array}{rl}40CY&=46AX+3(43-AX-CY)\\43CY&=43AX+129\\CY&=AX+3\end{array}$$ Agar $a$ maksimal maka $AX=0$ dan $CY=3$ sehingga $a=40.$

$$\boxed{7}$$ Kalau kita perhatikan $x^3+Kx$$<x^3+3x^2$$+3x+1$ untuk semua $K<7$ Hal ini dikarenakan $$\begin{array}{rl}0& <\left(x+\dfrac{(3-K)}{6}\right)^2+\dfrac{12-(3-K)^2}{36}\\0& < x^2+\dfrac{3-K}{3}x+\dfrac{1}{3}\\0 & <3x^2+(3-K)x+1\\x^3+Kx& < x^3+3x^3+3x+1=(x+1)^3\end{array}$$ Kasus untuk $K=7$ maka solusi kita dapatkan $x=y=z=1.$ Sekarang untuk $K\le 6$ Andaikan $x\ge y.$ Maka $$\begin{array}{rl}x^3 <x^3+Ky\le x^3+Kx < (x+1)^3\end{array}$$ Maka $x < y.$ Dengan cara yang sama kita dapatkan $y<z$ dan $z<x$. Tapi hal ini tidak mungkin terjadi karena menjadikan $x<x.$

$$\boxed{910}$$ Perhatikan bahwa $$\begin{array}{rl}\left\lfloor \frac{2023}{9}\right\rfloor=224,77.\end{array}$$ Nilai $B$ akan terbatas pada $910$ karena pada kasus $$\begin{array}{rl}210+221+(222+1)+(223+1)+(224+1)+(225+1)+(226+1)+(227+1)+(228+1)=2023.\end{array}$$ Karena bilangan itu harus berbeda, maka pasti kita dapat memilih $4$ bilangan lebih besar dari $224$. Sehingga kasus terburuk untuk $B$ adalah seperti dicontohkan di atas.

$$\boxed{2\pm\sqrt{5}}$$ Misalkan $\alpha^3-15\alpha=$ $p\in\mathbb{Q}$ dan $\alpha^4-56\alpha=$ $q\in\mathbb{Q}.$ Perhatikan bahwa $$\begin{array}{rl}\alpha^4=15\alpha^2+p\alpha=56\alpha+q.\end{array}$$ Maka $$\begin{array}{rl}15\alpha^2+(p-56)\alpha-q&=0\end{array}$$ Perhatikan bahwa $15x^2+(p-56)x$ $-q$ adalah polinom terkecil yang mempunyai akar $\alpha.$ Maka pastilah $x^3-15x$$-p$ mempunyai sisa $0$ jika dibagi dengan $15x^2+(p-56)x$$-q.$ Lakukan pembagian bersusun maka diperoleh Maka kita punya $$\begin{array}{rl}&q-225+\frac{(p-56)^2}{15}=0\text{ dan }-15p-\frac{q(p-56)}{15}=0\end{array}$$ Substitusi $c=p-56$ untuk memudahkan maka akan menjadi $$\begin{array}{rl}&q=22-\frac{c^2}{15}\text{ dan }-15c-840-\frac{qc}{15}=0\end{array}$$ Gabungkan sehingga menjadi $$\begin{array}{rl}\frac{c^3}{15^2}-30c-840&=0\text{ substitusi $d=\frac{c}{15}$}\\15d^3-450d-840&=0\\d^3-30d-56&=0\\(d+4)\underbrace{(d^2-4d-14)}_{\text{tidak punya akar rasional}}&=0\end{array}$$ Akibatnya $d=-4,$ $c=-60,$ $p=-4,$ dan $q=225-$$\frac{60^2}{15}=-15$ Maka $$\begin{array}{rl}\alpha_{1,2}&=\dfrac{60\pm\sqrt{60^2-4(15)(-15)}}{30}\\&=\dfrac{2\pm\sqrt{4+1}}{1}\\&=2\pm\sqrt{5}.\end{array}$$

$$\boxed{----}$$