Isian Singkat
Diberikan dua barisan aritmatika tak konstan \( a_1, a_2, \dots \) dan \( b_1, b_2, \dots \).
Jika \( a_{228} = b_{15} \) dan \( a_8 = b_5 \), tentukan nilai dari:
\[
\frac{b_4 - b_3}{a_2 - a_1}
\]
$$\boxed{22}$$
Misalkan beda pada barisan $\{a\}$ adalah $s_1$ dan beda pada barisan $\{b\}$ adalah $s_2.$ Sekarang kita akan melihat apa yang ditanyakan $$\begin{array}{rl}\dfrac{b_4-b_3}{a_2-a_1}=\dfrac{(b_1+3s_2)-(b_1+2s_2)}{(a_1+s_1)-(a_1)}=\dfrac{s_2}{s_1}.\end{array}$$ Perhatikan bahwa $$\begin{array}{rl}a_{228}&=b_{15}\\a_1+227s_1&=b_1+14s_2\\a_1-b_1&=14s_2-227s_1\end{array}$$ dan $$\begin{array}{rl}a_8&=b_5\\a_1+7s_1&=b_1+4s_2\\a_1-b_1&=4s_2-7s_1\end{array}$$ Maka $$\begin{array}{rl}a_1-b_1=14s_2-227s_1&=4s_2-7s_1\\10s_2&=220s_1\\\dfrac{s_2}{s_1}&=\dfrac{220}{10}=22\end{array}$$
Tentukan banyaknya bilangan asli \( n \leq 221 \) sehingga
\[
\frac{1^2 + 2^2 + \dots + n^2}{1 + 2 + \dots + n}
\]
merupakan bilangan bulat.
$$\boxed{74}$$
Perhatikan $$\begin{array}{rl}\dfrac{1^2+2^2+\cdots+n^2}{1+2+\cdots+n}&=\dfrac{\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)}{\frac{1}{2}n(n+1)(n+1)}\\&=\dfrac{2n+1}{3}\end{array}$$ Maka $2n+1\equiv$ (mod $3$). Sehingga $$\begin{array}{rl}2n+1&\equiv 0(\text{mod }3)\\2n+1&\equiv 3(\text{mod }3)\\2n&\equiv 2(\text{mod }3)\\n&\equiv 1(\text{mod }3)\end{array}$$ Maka ada sebanyak $\dfrac{220-1}{3}+1$ $=74$ banyaknya $n$ yang memenuhi.
Tentukan banyaknya garis berbeda pada koordinat Kartesius yang dapat diambil dari pasangan
\((a, b) \in \{0, 1, 2, 3, 6, 7\}\) sehingga memenuhi persamaan:
\[
ax + by = 0.
\]
$$\boxed{----}$$
Diberikan persegi panjang \( ABCD \) dan segitiga sama sisi \( BCP \) serta \( CDQ \). Jika panjang \( AB = 8 \),
\( AC = 10 \), dan luas segitiga \( ACP \) ditambah luas segitiga \( ACQ \) dapat dinyatakan dalam bentuk
\( m\sqrt{3} + n \), tentukan nilai \( m + n \).
$$\boxed{----}$$
Diberikan himpunan \( S = \{1, 5, 6, 7, 9, 10, 11, 13, 15, 20, 27, 45\} \).
Tentukan banyaknya himpunan bagian yang memiliki 3 anggota sehingga hasil kali ketiga bilangan tersebut habis dibagi 18.
$$\boxed{----}$$
Perhatikan gambar berikut (gambar tidak tersedia di HTML ini).
Jika diketahui panjang \( AP = 21 \), \( CQ = 13 \), dan \( ER = 36 \), serta segitiga \( PQR \) adalah segitiga sama sisi,
tentukan nilai \( BP + DQ + FR \).
$$\boxed{----}$$
yyyyy
Tentukan banyaknya bilangan asli \( n \) sehingga
\[
\sqrt{2n - 16} + \sqrt{2n + 36}
\]
adalah bilangan asli.
$$\boxed{---}$$
Diberikan bilangan real \( a, b \) sehingga memenuhi kedua persamaan berikut:
\[
\frac{1}{a} + \frac{1}{b} \leq \frac{2\sqrt{2}}{5}
\]
dan
\[
(a - b)^2 = \frac{4}{15} (ab)^3.
\]
Tentukan nilai maksimum dari \( a^2 + b^2 \).
$$\boxed{----}$$
Uraian
Misalkan \( ABCD \) adalah suatu persegi dengan panjang sisi 43 cm dan titik-titik \( X \) dan \( Y \)
berturut-turut terletak pada sisi \( AD \) dan \( BC \) sehingga perbandingan luas \( ABXY \) dengan
luas \( CDXY \) adalah \( 20:23 \). Tentukan panjang maksimum \( XY \) yang mungkin.
Misalkan \( K \) suatu bilangan asli sehingga terdapat tripel bilangan \( (x, y, z) \) dengan
\[
x^3 + Ky, \quad y^3 + Kz, \quad z^3 + Kx
\]
semuanya merupakan bilangan kubik sempurna.
- (a) Buktikan bahwa \( K \neq 2 \) dan \( K \neq 4 \).
- (b) Tentukan bilangan asli \( K \) terkecil yang memenuhi syarat di atas, dan jelaskan jawaban Anda.
Tentukan bilangan bulat terbesar \( B \) sehingga untuk setiap 9 bilangan asli berbeda yang hasil penjumlahannya 2023,
pasti terdapat 4 di antaranya yang hasil penjumlahannya minimal \( B \).
$$\boxed{yyy}$$
yyyyy
Tentukan semua bilangan real tak rasional \( \alpha \) yang memenuhi:
\[
\alpha^3 - 15\alpha \quad \text{dan} \quad \alpha^4 - 56\alpha
\]
keduanya merupakan bilangan rasional.
$$\boxed{----}$$
Diberikan segitiga \( ABC \) dan titik \( D \) dan \( E \) terletak pada sisi \( BC \).
Titik \( X \) dan \( Y \) terletak di dalam segitiga \( ABC \) sehingga berlaku:
\[
\angle BXE + \angle BCA = \angle CYD + \angle CBA = 180^\circ.
\]
Misalkan garis \( AD \) memotong garis \( XE \) di titik \( P \) dan garis \( YD \) di titik \( Q \).
Jika diketahui bahwa \( X, Y, D, E \) terletak pada satu lingkaran, buktikan bahwa garis \( BP \),
garis \( CQ \), dan garis sumbu sisi \( BC \) berpotongan pada satu titik.
$$\boxed{----}$$
ada juga ...
Loading...