OSP Matematika SMA Tahun 2024 diadakan pada 6 Mei 2024 secara daring
Isian Singkat
Diketahui bahwa $\overline{ab}$ dan $\overline{cd}$ masing-masing adalah dua bilangan dua digit yang hasil kalinya adalah $777.$ Jika diketahui $\overline{ab}<\overline{cd},$ maka nilai dari $a+b$ adalah ...
Perhatikan bahwa $777=$ $7\times 111=$ $7\times 3\times 37=$ $21\times 37.$ Karena $7\times 37>$ $3\times 37=$ $111,$ maka $\overline{ab}=21$ dan $\overline{cd}=37.$ Jadi $a+b=$ $2+1=$ $3.$
Misalkan $f$ dan $g$ adalah fungsi linear yang memenuhi persamaan $f(x+g(y))$$=$$7x+2y+11$ untuk setiap bilangan real $x,y.$ Jika diketahui $g(7)=3,$ maka $g(-11+f(4))$ adalah ...
Catatan: fungsi linear adalah fungsi berbentuk $h(x)$$=$$ax+b$ dengan $a,b$ konstanta bilangan real.
Catatan: fungsi linear adalah fungsi berbentuk $h(x)$$=$$ax+b$ dengan $a,b$ konstanta bilangan real.
Perhatikan bahwa $$ \begin{align*}f(x+g(7))&=7x+14+11\\f(x+3)&=7x+25.\end{align*}$$ Misalkan $f(x)=$$ax+b,$ maka $$\begin{align*}a(x+3)+b&=7x+25\\ax+(3a+b)&=7x+25\end{align*}.$$ Akibatnya $a=7$ dan $b=4.$ Selanjutnya perhatikan kembali $$\begin{align*}7x+2y+11&=f(x+g(y))\\&=7(x+g(y))+4\\&=7x+7g(y)+4\\2y+7&=7g(y)\\g(y)&=\frac{2y}{7}+1.\end{align*}$$ Selanjutnya adalah $$\begin{align*}g(-11+f(4))&=g(-11+7(4)+4)\\&=g(21)\\&=\frac{2(21)}{7}+1\\&=7.\end{align*}$$
Diberikan segitiga $ABC$ dengan panjang sisi $AB=15,$ $AC=13,$ dan $BC=4.$ Diketahui bahwa terdapat sebuah segitiga samasisi $PQR$ dengan $P,$ $Q,$ dan $R$ masing-masing terletak pada sisi $BC,$ $CA,$ dan $AB$ sehingga $PQ$ sejajar dengan $AB.$ Nilai $\frac{PQ}{AB}$ dapat dinyatakan dalam bentuk $\frac{a}{b+c\sqrt{d}}$ dengan $a,$ $b,$ $c,$ dan $d$ sehingga $a$ adalah bilangan bulat positif, $d$ tidak habis dibagi bilangan kuadrat yang bernilai lebih dari $1$ dan $FPB(a,b,c)$$=1.$ Nilai dari $a+$$b+$$c+$$d$ adalah ...
Pertama kita perhatikan bahwa $PQ$ sejajar $AB.$ Maka $\triangle PQC$$\sim$$\triangle ABC.$ Dapat kita misalkan $PQ=$$15x,$ $QC=$$13x,$ dan $PC=$$4x.$ Gunakan rumus Heron untuk mencari $[PQC].$ $$\begin{align*}[PQC]&=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}\\&=\sqrt{16x(x)(3x)(12x)}\\&=4x(6x)\\&=24x^2.\end{align*}$$ Sekarang misalkan $t_1$ adalah garis tinggi $\triangle PQC$ dengan alas $PQ$ dan $t_2$ adalah garis tinggi $\triangle PQR$ dengan alas $PQ.$ Maka $t_1$ dapat kita cari melalui $t_1=$$\frac{[PQC]}{\frac{1}{2}15x}=$$\frac{48x}{15}=$$\frac{16x}{5}.$ Begitu juga dengan $t_2$ dapat kita cari karena $\triangle PQR$ segitiga samasisi. Maka $t_2=\frac{15x}{2}\sqrt{3}.$ Dengan mengganti $x=1,$ maka kita tahu $[ABC]=24$ dan $t_1+t_2=\frac{16}{5}.$ Dari sini kita bisa lanjutkan mencari $x$ dengan $$\begin{align*}\frac{16}{5}&=\frac{16}{5}x+\frac{15}{2}x\sqrt{3}\\32&=32x+75x\sqrt{3}\\x&=\frac{32}{32+75\sqrt{3}}.\end{align*}$$ Selanjutnya perhatikan bahwa $\frac{PQ}{AB}=$$\frac{15x}{15}=$$x.$ Artinya $a+$$b+$$c+$$d=$$32+$$32+$$75+$$3=$$141.$
Masing-masing petak pada papan berukuran $3\times 2023$ akar diwarnai salah satu dari warna hitam atau putih, sedemikian hingga setiap subpapan berukuran $2\times 2,$ terdapat masing-masing sebanyak ganjil petak berwarna hitam dan ganjil petak berwarna putih. Misalkan banyaknya cara pewarnaan petak yang mungkin adalah $A,$ sisa dari $A$ ketika dibagi $1000$ adalah ...
Perhatikan di atas bahwa dalam setiap kemungkinan subpapan ukuran $3\times 1$ ada tepat dua buah subpapan ukuran $3\times 1$ yang bisa disandingkan dengan subpapan sebelumnya agar memenuhi syarat bahwa setiap subpapan ukuran $2\times 2$ selalu mengandung ganjil warna hitam ataupun ganjil warna putih. Sehingga banyaknya kemungkinan adalah $2^3$ untuk subpapan $3\times 1$ pertama dan $2$ kemungkinan untuk subpapan $3\times 1$ selanjutnya. Artinya $A=$ $2^3(2^{2022})=$ $2^{2025}.$ Selanjutnya perhatikan bahwa $2^{10}\equiv 24 (\text{mod } 1000).$ Perhatikan juga bahwa $$\begin{array}{lll}24^{10k+2}&\equiv 576&(\text{mod } 1000)\\24^{10k+4}&\equiv 776&(\text{mod } 1000)\\24^{10k+6}&\equiv 976&(\text{mod } 1000)\\24^{10k+8}&\equiv 176&(\text{mod } 1000)\\24^{10k}&\equiv 376&(\text{mod } 1000)\end{array}$$ Berdasarkan dua hal di atas maka, $$\begin{array}{lll}A&\equiv 2^{2025}&(\text{mod } 1000)\\&\equiv (2^{10})^{202}\cdot 2^5&(\text{mod } 1000)\\&\equiv 24^{202}\cdot 32&(\text{mod } 1000)\\&\equiv 576\cdot 32&(\text{mod } 1000)\\&\equiv 432&(\text{mod } 1000)\end{array}$$
Banyaknya bilangan asli $a$ yang kurang dari $209$ sehingga $FPB(a, 209) =$ $1$ dan $a^2-1$ bukan kelipatan dari $209$ adalah ...
Perhatikan $\Phi(209)=$ $209\left(1-\frac{1}{11}\right)$$\left(1-\frac{1}{19}\right)=$ $209\left(\frac{10}{11}\right)$$\left(\frac{18}{19}\right)=$ $180$ adalah banyaknya bilangan asli kurang dari $209$ yang relatif prima dengan $209.$ Sekarang perlu kita hilangkan $a$ jika $209|$ $a^2-1.$ Tidak mungkin $209$ membagi $a-1$ atau $209$ membagi $a+1$ karena $a<209.$ Maka pastilah $11|a-1$ dan $19|a+1$ atau $11|a+1$ dan $19|a-1.$
- Kasus 1: $11|a-1$ dan $19|a+1$
Karena $11|a-1$ maka $a=$ $11k+1.$ Akibatnya $$\begin{array}{clcl}11k+2 &\equiv & 0 &(\text{mod }19)\\11k &\equiv & -2&(\text{mod }19)\\&\equiv & -2+57&(\text{mod }19)\\&\equiv & 55&(\text{mod }19)\\k&\equiv & 5&(\text{mod }19)\end{array}$$ Misalkan $k=$ $19l+$ $5.$ Sehingga $a=$ $11k+$ $1=$ $11(19l+5)$ $+1=$ $209l+$ $56.$ Artinya $56$ harus dicoret. - Kasus 2:$11|a+1$ dan $19|a-1$
Karena $11|a+1$ maka $a=$ $11k-1.$ Akibatnya $$\begin{array}{clcl}11k-2 &\equiv &0 &(\text{mod }19)\\11k &\equiv & 2&(\text{mod }19)\\&\equiv &2-57&(\text{mod }19)\\&\equiv & -55&(\text{mod }19)\\k&\equiv & -5&(\text{mod }19)\\k &\equiv & 14&(\text{mod }19)\end{array}$$ Misalkan $k=$ $19l+$ $14.$ Sehingga $a=$ $11k-$ $1=$ $11(19l+14)$ $-1=$ $209l+$ $153.$ Artinya $153$ juga harus dicoret.
Pada persegi $ABCD$ dengan panjang sisi $\sqrt{2}+$ $\sqrt{6},$ titik $X$ terletak pada diagonal $AC$ sehingga $AX>$ $XC.$ Garis bagi dalam sudut $AXB$ memotong sisi $AB$ pada titik $U.$ Garis bagi dalam sudut $CXD$ memotong sisi $CD$ pada titik $V.$ Jika $\angle UXV =$ $150^o,$ maka nilai dari $\lfloor 3 × U V^2\rfloor$ adalah ...
Catatan: notasi $\lfloor x\rfloor$ menyatakan bilangan bulat terbesar yang kurang dari atau sama dengan $x.$
Catatan: notasi $\lfloor x\rfloor$ menyatakan bilangan bulat terbesar yang kurang dari atau sama dengan $x.$
yyyyy
Diberikan himpunan $S =$ ${1, 2, \cdots, 18}.$ Misalkan $N$ adalah banyaknya pasangan terurut $(A, B)$ dengan $A, B$ himpunan bagian dari $S$ sehingga $|A \cap B|$ $\le 2.$ Nilai dari $\frac{N}{3^{16}}$ adalah ...
Catatan : Notasi $|X|$ menyatakan banyaknya anggota himpunan $X.$
Catatan : Notasi $|X|$ menyatakan banyaknya anggota himpunan $X.$
yyyyy
Misalkan $a,$ $b,$ $c$ merupakan bilangan-bilangan real yang memenuhi pertidaksamaan: $$|ax^2 + bx + c| \le (18x-5)^2$$ untuk setiap bilangan real $x.$ Nilai terkecil yang mungkin dari $a +$ $2b +$ $5c$ adalah ...
yyyyy
Uraian
Diberikan bilangan real $C\le 2.$ Buktikan bahwa untuk setiap bilangan real positif $x,y$ dengan $xy=1,$ berlaku ketaksamaan $$\begin{align*}\sqrt{\frac{x^2+y^2}{2}}+\frac{C}{x+y}\end{align*}\ge 1+\frac{C}{2}.$$
yyyy
Diberikan sebuah papan berukuran $n\times n$ yang terbagi menjadi petak-petak berukuran $1\times 1$ yang semuanya berwarna putih. Aqua memilih beberapa buah petak dari papan ini dan mewarnainya dengan warna hitam. Ruby kemudian meletakkan tepat satu buah domino berukuran $1\times 2$ di papan, sehingga domino tersebut tepat menutupi dua buah petak di papan. Ruby dapat memutar domino tersebut menjadi domino $2\times 1.$ Setelah Aqua mewarnai, ternyata ada tepat $2024$ cara bagi Ruby untuk meletakkan sebuah domino di papan sehingga domino tersebut menutupi tepat $1$ petak hitam dan $1$ petak putih. Tentukan nilai $n$ terkecil yang mungkin agar Aqua dan Ruby dapat melakukan hal ini.
yyyy
Pada segitiga $ABC,$ titik $X,$ $Y,$ dan $Z$ masing-masing merupakan titik tengah dari $BC,$ $CA,$ dan $AB$ berturut-turut. Garis sumbu $AB$ memotong garis $XY$ dan garis $AC$ berturut-turut pada $Z_1$ dan $Z_2.$ Garis sumbu $AC$ memotong garis $XZ$ dan garis $AB$ berturut-turut pada $Y_1$ dan $Y_2.$ Misalkan $K$ adalah titik sehingga $KZ_1 = KZ_2$ dan $KY_1 = KY_2.$ Buktikan bahwa $KB =$ $KC.$
yyyyy
Tentukan banyaknya pasangan bilangan asli $1\le$ $a,$ $b\le$ $2007$ yang memenuhi $$2027|a^6+b^5+b^2$$
(Catatan : Untuk bilangan bulat $a$ dan $b,$ notasi $a | b$ berarti terdapat suatu bilangan bulat $c$ sehingga $ac = b$)
(Catatan : Untuk bilangan bulat $a$ dan $b,$ notasi $a | b$ berarti terdapat suatu bilangan bulat $c$ sehingga $ac = b$)
yyyyy